Induktive Formel für Ableitung herleiten |
| 26.04.2010, 17:50 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Induktive Formel für Ableitung herleiten also ich habe folgende Funktion : f(x)= 2 / (3-4x) und habe folgende Ableitungen berechnet : f'(x) = 8 / ( 3-4x)^2 f''(x) = 64 / ( 3-4x)^3 f'''(x) = 768 / ( 3-4x)^4 Nun soll ich daraus eine induktive Formel herleiten habe aber damit Probleme. Mir fehlt im Nenner noch etwas um die Zahl entsprechernd wachsen zu lassen : f^k (x) = ...* -4k / ( 3-4k)^k Ich komme einfach nicht drauf 
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| 26.04.2010, 17:56 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Induktive Formel für Ableitung herleiten Du hast bisher -4 als innere Ableitung, k als Anzahl, was noch fehlt ist die äußere Ableitung. |
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| 26.04.2010, 18:03 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das wäre dann doch eignetlich nur k * (3-4k)^k-1, also das wäre jetzt die ableitung , aber nur die äußere wäre doch k*.... ? |
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| 26.04.2010, 18:07 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, aber schreib das bitte so mit Klammern, damit man nicht erst raten muss. Und vergiss nicht, dass am Anfang ein Faktor 2 bereits im Zähler stand. |
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| 26.04.2010, 18:11 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann wäre die k-te Ableitung : f^k (x) = 2k*(-4k) / (3-4k)^k Aber das psst doch überhaupt gar nicht mit dem Vorzeichen oben , oder? Und allgemein kommen da ganz andere Zahlen bei mir dann raus ... |
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| 26.04.2010, 18:17 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da k < 0 ist, musst du aufpassen, dass das k gleichzeitig als Anzahl benutzt (positiv) und einmal als Exponent (negativ). Die stimmen nur überein wenn du das Vorzeichen änderts. Und die äußere Ableitung ändert sich mit jedem Ableiten und die alte Zahl "bleibt" wegen der Faktorregel. Schreib die äußeren Faktoren mal für die ersten paar ein. Gibt eine Funktion die das leistet. |
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| 26.04.2010, 18:54 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die ersten paar Faktoren wären ja 2 , 8, 64,... Aber ich sehe keine Formel oder sonstwas wie ich diese mal -4 nehmen könnte , dass im folgenden die passenden Zahlen rauskommen können. Ich versuche nochmal mein Problem zu beschreiben. Den Nenner lassen wir mal weg , der sollte klatr sein. Im Zähler nehme ich immer die innere Ableitung * den Exponent ( also immer -4*k) und das muss ich dann noch mal der k-1 zähler Ableitung nehmen( also bei der 2 Abletung steht im zähler 8 *(-8). Mir fehlt wie gesagt die Schreibweise dafür das ich die k-1 Abletung des Zählers verwende... |
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| 26.04.2010, 18:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vereinfachen wir das mal zu: f(x) = 1/x, bilde davon mal die ersten, sagen wir 4 Ableitungen, und multiplizier den Zähler nicht aus, d.h. lass da 2*3 stehen statt es zu 6 zusammenzufassen. |
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| 26.04.2010, 19:23 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also f(x) = 1/x f'(x) = -(1/x^2) f''(X) = 2/x^3 f'''(x) = -(2*(3)/x^4) f''''(x) = (-6)*(-4) / x^5 Also ich sehe jetzt klar das es diesen Vorzeichen wechsel immer gibt aber in Verbindung mit meiner Aufgabe kann ich das nicht bringen ... |
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| 26.04.2010, 19:24 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Zähler ist (ohne mal das Vorzeichen): 1 1*2 1*2*3 1*2*3*4 ... Siehst du es jetzt? |
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| 26.04.2010, 19:31 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das wäre ja die Fakültät. Wenn ich jetzt versuche alles auszurechnen kommen ich immernoch nicht auf die gewünschten Zahlen
Ich hätte dann ja ( Zähler) : 2k! * (-4k) Richtig ? |
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| 26.04.2010, 19:39 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fast, das Vorzeichen muss positiv sein wie du an deinen Ableitungen sehen kannst, und es ist k!, allerdings etwas verschoben, also (k-1)! |
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| 26.04.2010, 19:45 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich oben die Ableitungen falsch berechnet oder wie? Das hier wäre nun meine induktive Ableutung k-ten Grades : f^k(x) = ((k-1)! *(4k)) / ( 3-4x)^k Setze ich für k = 1 ein , also die erste Ableitung bekomme ich da im Zähler -4 raus ?? Edit : Also ich muss wohl doch * 4 nehmen, hast du ja auch oben geschrieben , sorry , aber mit den weiteren zahlen passt das ja auch nicht , z.b. für k=3 |
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| 26.04.2010, 19:50 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du plötzlich die 2 verloren. und entweder du machst aus k! dann -(k!), dann bezeichnet k die Anzahl der Ableitung oder du machst es komplizierter und dann bezeichnet k den Exponenten im Nenner, wenn du das nochmal shiftest. Edit: Ich schaus mir gerade nochmal an, ist wirklich gerade seltsam. Edit: Der shift von k! zu (k-1)! war falsch, entschuldige, da war wohl nen riesigen Durcheinander in meinem Kopf mit der Ableitung und dem Exponenten. Edit: Okay, hatte ein Brett vorm Kopf weil 4k so gut aussah, aber es wird mit jedem Schritt ja mit 4 multipliziert und nicht addiert, also muss exponentiell wachsen. |
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| 26.04.2010, 19:56 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also für k=1 komme ich ja jetzt auf 8, aber bei k =2 komme ich nur auf 32 und es sollten ja 64 sein ? :/ |
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| 26.04.2010, 19:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habs oben editiert, die 4k macht Probleme. |
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| 26.04.2010, 19:59 | Dortmunder223 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hatte ich auch gerade bemerkt , jetzt passt alles wirklich 
Super vielen vielen Dank , 
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| 26.04.2010, 20:17 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Induktive Formel für Ableitung herleiten
Wenn es wirklich nur darum geht eine induktive Formel herzuleiten - nun die lässt sich aus obigen Ableitungen ja direkt ablesen: So wie sich der Thread darstellt, geht es aber darum, eine direkte Formel für die k-te Ableitung anzugeben. Anhand der induktiven Darstellung ist diese ebenfalls offensichtlich: Diese Formel lässt sich nun bequem per Induktion beweisen. |
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| 26.04.2010, 22:10 | Dortmunder2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja bei uns wird die k-te Ableitung als induktive bezeichnet... Und im Enddefekt bin ich ja nun auch drauf gekommen, ich hab halt noch nicht wirklich diesen mathematischen blick womit ich sowas in 10 sek sehen kann, aber hoffentlich kommt der noch
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