KOnvergenz Funktionenfolge

26.04.2010, 18:34

Bullet1000

KOnvergenz Funktionenfolge

Hallo, ich habe ein Problem bei einer Funktionenfolge. $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{1}{n}cos(n^2x) \end{eqnarray*}$

Und zwar soll ich zunächst die gleichmäßige Konvergenz gegen 0 zeigen und dann beantworten, ob $\begin{eqnarray*} f_n'(x) \end{eqnarray*}$ punktweise oder gleichmäßig konvergiert.

Ich bin erstmal so rangegangen

$\begin{eqnarray*} sup|f_n(x)-0|=sup|\frac{1}{n}cos(n^2x)|=\frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n'(x)=-nsin(n^2x) \end{eqnarray*}$

So und jetzt weiß ich irgendwie nicht weiter, denn was ist denn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} -nsin(n^2x) \end{eqnarray*}$ ?

Er ist ja erstmal $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0+k\pi \end{eqnarray*}$

Aber dann hört es bei mir schon auf, denn wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich strebt, so erhalte ich sozusagen eine unendlich kleine Periode bei unendlich großer AMplitude.

Konvergiert das überhaupt?

Wenn dann sicherlich nciht gleichmäßig.

Grüße

Bullet1000

26.04.2010, 19:41

WebFritzi

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Sei x kein ganzzahliges Vielfaches von pi. Wir wollen zeigen, dass es ein r > 0 gibt, so dass |sin(n²x)| > 1/Wurzel(n) für unendlich viele n gilt. Dann ist bewiesen, dass n*sin(n²x) divergiert.

Zunächsteinmal ist klar, dass wir uns aufgrund der Eigenschaften des Sinus einschränken können auf alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,\pi). \end{eqnarray*}$ Es gibt also ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon\in (0,1), \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x = \varepsilon\pi. \end{eqnarray*}$ Angenommen, unsere Aussage gelte nicht. Dann gibt es ein N, so dass

$\begin{eqnarray*} |\sin(n^2\varepsilon\pi)| < \frac 1 {\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\ge N. \end{eqnarray*}$

Zu jedem $\begin{eqnarray*} n\ge N \end{eqnarray*}$ gibt es dann also ein $\begin{eqnarray*} k(n)\in\mathbb Z, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} |n^2\varepsilon\pi - k(n)\pi| < \arcsin\left(\frac 1 {\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$

gilt. Umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} |n^2\varepsilon - k(n)| < \frac 1 {\pi}\arcsin\left(\frac 1 {\sqrt{n}}\right). \end{eqnarray*}$

Das, was rechts steht, konvergiert gegen Null. Zu zeigen bleibt also nur, dass der Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} n^2\varepsilon \end{eqnarray*}$ und dessen gerundetem Wert keine Nullfolge bildet. Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1/2 \end{eqnarray*}$ ist das z.B. trivial.

26.04.2010, 20:07

Bullet1000

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OK, also wenn ich das richtig verstehe, wollen wir über Widerspruch zeigen, dass die Folge divergiert. Zuminedest wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein ganzzahliges Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

Ich versteh irgendwie nicht so richtig, was $\begin{eqnarray*} k(n) \end{eqnarray*}$ ist?

26.04.2010, 20:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
OK, also wenn ich das richtig verstehe, wollen wir über Widerspruch zeigen, dass die Folge divergiert. Zuminedest wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein ganzzahliges Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, aber eigentlich ist es nur ein Pseudo-Widerspruch. Ich hätte es oben auch direkter angehen können. Das muss dich aber nicht weiter stören.

Zitat:

Original von Bullet1000
Ich versteh irgendwie nicht so richtig, was $\begin{eqnarray*} k(n) \end{eqnarray*}$ ist?

Der gerundete Wert von $\begin{eqnarray*} n^2\varepsilon. \end{eqnarray*}$ Es ist ja $\begin{eqnarray*} |\sin(n^2\varepsilon\pi)| = |\sin(n^2\varepsilon\pi - k\pi)| \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen k. Man wählt sich jetzt das k so, dass $\begin{eqnarray*} n^2\varepsilon\pi - k\pi\in [-\pi/2,\pi/2], \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n^2\varepsilon - k\in [-1/2,1/2], \end{eqnarray*}$ so dass man den Arcussinus anwenden kann. Und dieses k ist gerade k(n).

26.04.2010, 20:28

Bullet1000

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Ach so, ja stimmt, sonst hätte man das garnicht machen dürfen.

OK, und jetzt muss ich also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |n^2\epsilon-k(n)| \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge bildet, oder?

Kannst du mir mal kurz zeigen, wie das Beispiel, mit $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zeigen?

26.04.2010, 20:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Kannst du mir mal kurz zeigen, wie das Beispiel, mit $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zeigen?

Nein. Erstens nicht, weil du dich nicht mal bemühst, ein ordentliches Deutsch zu fabrizieren, und zweitens nicht, weil das pupsbillig ist und du das selber können solltest.

26.04.2010, 21:11

Bullet1000

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Sorry, ich vesuch es mal.

Also ich muss mich fragen, wie ich mein $\begin{eqnarray*} k(n) \end{eqnarray*}$ wählen muss, so dass $\begin{eqnarray*} n^2\epsilon-k(n) \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ .

Nun ja, wenn ich $\begin{eqnarray*} k(n)=n^2\epsilon+- \rho \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rho \in(-1/2,1/2) \end{eqnarray*}$ wähle, dann sollte diese Bedingung auf jeden Fall erfüllt sein.

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} |n^2\epsilon-k(n)|=|n^2\epsilon-n^2\epsilon+-\rho|=\rho \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich

Dies ist ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} |n^2\epsilon-k(n)|<\frac{1}{\pi}arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ , welches gegen Null konvergiert.
Ich tappe sicherlich völlig im Dunkeln, oder?

27.04.2010, 01:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} |n^2\epsilon-k(n)|=|n^2\epsilon-n^2\epsilon+-\rho|=\rho \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich

Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ nicht Null sein können? Ich kann dir hier nicht folgen. Insbesondere das "für n gegen Unendlich" irritiert mich.

27.04.2010, 17:45

Bullet1000

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Ja, stimmt. $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ kann natürlich auch gleich 0 sein.

Na ich wollte doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |n^2\epsilon-k(n)| \end{eqnarray*}$ keine NUllfolge ist.

Weil eigentlich wollte ich ja einen Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} |n^2\varepsilon - k(n)| < \frac 1 {\pi}\arcsin\left(\frac 1 {\sqrt{n}}\right). \end{eqnarray*}$ finden

Doch für $\begin{eqnarray*} \rho =0 \end{eqnarray*}$ entsteht die konstante Folge 0.

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