Reihendarstellung

26.04.2010, 19:08

Sissy85

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Reihendarstellung

Meine Frage:
Ich soll eine Reihendarstellung der Funktion (mit Beweis) angeben:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R , f(x)= \int_0^\pi \! \frac{\sin(t^{2}) }{t} \, dt \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)= 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie kann ich da vorgehen?

26.04.2010, 19:12

Airblader

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Soll f wirklich eine konstante Funktion sein?

air

26.04.2010, 19:51

Sissy85

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ja, anscheinend

26.04.2010, 19:53

Sissy85

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Oh, hab mich verschrieben statt pi ist da ein x beim Integral

26.04.2010, 20:30

Kühlkiste

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Kennst Du die Reihendarstellung des $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ?

26.04.2010, 20:40

Sissy85

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sin(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-1\right)^{n} \frac{x^{2n+1} }{(2n+ 1)!} \end{eqnarray*}$ oder ?

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26.04.2010, 21:46

Sissy85

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Kann das so richtig sein?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} }{(2k+ 1)!(2k+1)^{x^{2k+1} } } \end{eqnarray*}$

26.04.2010, 22:09

giles

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Zitat:

Original von Kühlkiste
Kennst Du die Reihendarstellung des $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ?

Hm, hilft die denn hier? Dazu müsste man doch Integration und Reihenlimes vertauschen dürfen.
Im Riemann-Sinne sieht das echt übel aus (sinus Reihe ja hochgradig nicht gleichmäßig). Für Lebesgue sicher kein Thema auf dem Endlichen Intervall, da die Funktion beschränkt ist.

Wenn der Autor/die Autorin aber schon Lebesgue-Integrationstheorie kennt will ich nichts gesagt haben.

27.04.2010, 03:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von giles
sinus Reihe ja hochgradig nicht gleichmäßig

Jede Potenzreihe konvergiert gleichmäßig auf jedem Kompaktum, das in ihrem Konvergenzkreis liegt.

27.04.2010, 08:49

Kühlkiste

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Zitat:

Original von giles

Zitat:

Original von Kühlkiste
Kennst Du die Reihendarstellung des $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ ?

Hm, hilft die denn hier?

Ja, sicher!

Zitat:

Original von giles
Im Riemann-Sinne sieht das echt übel aus (sinus Reihe ja hochgradig nicht gleichmäßig).

Unsinn!

27.04.2010, 10:43

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Sissy85
Kann das so richtig sein?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} }{(2k+ 1)!(2k+1)^{x^{2k+1} } } \end{eqnarray*}$

Nicht ganz.

Der Exponent von x stimmt nicht. Außerdem gehört das x in den Zähler.

27.04.2010, 11:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von Kühlkiste

Zitat:

Original von giles
Im Riemann-Sinne sieht das echt übel aus (sinus Reihe ja hochgradig nicht gleichmäßig).

Unsinn!

Ich denke, das hatte ich bereits klar gemacht...

27.04.2010, 15:49

Sissy85

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Ok....aaaalso nun hab ich das hier rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1} }{(2n-1)!(2n-1)} \end{eqnarray*}$
Hoffe es ist nun richtig.... verwirrt

verwirrt

bin bei sowas immer so dusselig

27.04.2010, 16:41

Evelyn89

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das kann man noch vereinfachen. schau mal genau hin.

27.04.2010, 16:56

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Sissy85
Ok....aaaalso nun hab ich das hier rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1} }{(2n-1)!(2n-1)} \end{eqnarray*}$
Hoffe es ist nun richtig.... verwirrt

verwirrt

bin bei sowas immer so dusselig

Du solltest beachten, dass Dein Integrand $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(t^2)}t \end{eqnarray*}$ lautet und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(t)}t \end{eqnarray*}$ .

27.04.2010, 17:21

giles

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Zitat:

Original von WebFritzi
Jede Potenzreihe konvergiert gleichmäßig auf jedem Kompaktum, das in ihrem Konvergenzkreis liegt.

Finger1

Sicheres Anzeichen dass man zu viel QM macht: Man sieht überall uneigentliche Integrale Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke für die Richtigstellung

27.04.2010, 17:31

Sissy85

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Hab ich ja. Habe substituiert und dann kam halt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^x \! \frac{\sin(x) }{x} \, dx \end{eqnarray*}$
raus.

27.04.2010, 18:31

WebFritzi

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Das kam ganz bestimmt nicht raus, denn das macht gar keinen Sinn.

27.04.2010, 18:36

Sissy85

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ja, ok mit was anderes als x hab mich da wieder vertippt. Könnte auch u sein oder so.

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