Vollständiges Differenzial

26.04.2010, 19:54

Peter M.

Vollständiges Differenzial

Hallo,

wir hatten in der Vorlesung das folgende Beispiel zum vollständigen Differential:

$\begin{eqnarray*} (y+\cos x) dx+(x+2y)dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P dx + Q dy \end{eqnarray*}$

Es wurde gezeigt, $\begin{eqnarray*} P_y=Q_x=1 \end{eqnarray*}$ und das es deswegen ein vollständiges Differential ist. Aber anders herum geht es ja nicht: $\begin{eqnarray*} P_x != Q_y \end{eqnarray*}$ oder ist das quatsch?

Dann wurde P nach x integriert, und anschließend nach y differenziert. Das Wurde dann mit Q gleichgesetzt, um die Integrationskonstante zu bestimmen. Ist diese Reihenfolge festgelegt, oder kann ich das auch anders herum amchen, also Q nach y integrieren ´, dann nach x ableiten und mit P gleichsetzen, oder ist die Reihenfolge festgelegt, evtl sogar durch den Ansatz mit $\begin{eqnarray*} P_y=Q_x=1 \end{eqnarray*}$ .

Es wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte meine Unklarheiten zu beseitigen.

Viele Grüße

01.05.2010, 15:36

Peter M.

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Hallo,
hat sich mal jemand meine Frage durch den Kopf gehen lassen?

01.05.2010, 18:34

WebFritzi

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RE: Vollständiges Differenzial

Zitat:

Original von Peter M.
Aber anders herum geht es ja nicht: $\begin{eqnarray*} P_x != Q_y \end{eqnarray*}$ oder ist das quatsch?

Ja, das ist Quatsch. Die Integrabilitätsbedingung lautet für $\begin{eqnarray*} f_1dx_1 + \ldots + f_ndx_n: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial_if_j = \partial_jf_i. \end{eqnarray*}$

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} P = f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q = f_2. \end{eqnarray*}$ Das heißt, $\begin{eqnarray*} P_x = Q_y \end{eqnarray*}$ würde bedeuten: $\begin{eqnarray*} \partial_1f_1 = \partial_2f_2. \end{eqnarray*}$ Das stimmt aber nicht mit der Integrabilitätsbedingung überein.

01.05.2010, 18:59

Peter M.

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Also so ganz verstehe ich nicht, was du geschrieben hast, aber ich interpretiere das jetzt mal so: Das Ganze muss nicht in beide Richtungen gehen, aber mindestens in eine. Also entweder
$\begin{eqnarray*} P_y=Q_x \end{eqnarray*}$ oder (evtl auch und)? $\begin{eqnarray*} P_x=Q_y \end{eqnarray*}$ . Je nach dem, welche Ansatz passt, muss ich dann integrieren, um auf die Funktion f zu kommen.

01.05.2010, 20:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Peter M.
oder (evtl auch und)? $\begin{eqnarray*} P_x=Q_y \end{eqnarray*}$ .

Nein, das nicht. Nie!

02.05.2010, 11:07

Peter M.

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Was das Und? Oder generell das umgekehrte? Also muss quasi immer der Teil mit dx nach y abgeleitet das gleiche ergeben wie der Teil mit dy nach x abgeleitet?

02.05.2010, 18:27

WebFritzi

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Zitat:

Original von Peter M.
Also muss quasi immer der Teil mit dx nach y abgeleitet das gleiche ergeben wie der Teil mit dy nach x abgeleitet?

Ja, richtig.

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