Doppelintegral

26.04.2010, 20:02

Jonny123

Doppelintegral

Hallo,

ich versuche gerade das Beispiel zu verstehen:

$\begin{eqnarray*} G=\{(x,y):0\le x\le1,-x\le y\le x^2\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x \end{eqnarray*}$

Die Integration verstehe ich an sich. Nur verstehe ich den Ansatz nicht. Die Menge beschreibt ja ein Gebiet. Möchte ich bei der Integration diese Fläche haben? Und welche rolle spielt f(x,y) dabei?

26.04.2010, 20:43

gonnabphd

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Du willst f über diese Fläche integrieren. Wolltest du nur die Fläche haben, würdest du f=1 nehmen. Das ist hier aber nicht der Fall.

Leider ist mir nicht bekannt, ob man sich unter "f über G integrieren" was schönes vorstellen kann... Muss man aber auch gar nicht, um das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_G \! f(x,y) \, d(x \times y) \end{eqnarray*}$

zu lösen. Man kann das ja einfach abstrakt als eine Abbildung von den integrierbaren Funktionen auf G nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sehen.

Wink

26.04.2010, 21:08

Jonny123

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Also das Thema haben wir gerade erst angefangen. Es wäre wirklich gut, wenn es da eine Veranschaulichung geben würde. Also unter einer Funktion über eine Fläche Integrieren kann ich mir leider nix vorstellen. Klar kann man es einfach lösen, aber wenn man weiß, was man da macht ist das schon besser.

26.04.2010, 21:26

gonnabphd

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Ja natürlich wäre es schön, für alles in der Mathematik eine anschauliche Erklärung zu haben. Die Frage ist nur ob eine solche in diesem Falle existiert...

Und ich argumentiere, dass dem in diesem Fall nicht so ist.

Denn man könnte das Integral ja umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \int_G \! f(x,y) \, d(x \times y) = \int_G \! \left( \int_0^{f(x,y)} \! 1 \, dz \right) \, d(x \times y) \end{eqnarray*}$

also einem dreifachen Integral (bzw. einem vierdimensionalen "Volumen"). Und dafür hat man leider nicht mehr wirklich eine Anschauung.

Aber daran muss man sich wohl einfach gewöhnen.

Sieh es einfach als lineares Funktional auf dem Raum der messbaren Funktionen, das wird reichen.

27.04.2010, 03:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von gonnabphd
Big Laugh

Ja natürlich wäre es schön, für alles in der Mathematik eine anschauliche Erklärung zu haben. Die Frage ist nur ob eine solche in diesem Falle existiert...

Natürlich. Das Integral von f(x,y) über der Fläche A ist einfach das Volumen, welches vom Graphen der Funktion f, der x-y-Ebene und der Menge

$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z) : (x,y)\in\partial A\} \end{eqnarray*}$

eingeschlossen wird.

27.04.2010, 10:59

Ehos

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Hallo Jonny123,

eine anschauliche Erklärung deines Doppelintegrales ist folgende:

Deine ebene Fläche ist durch folgende 3 Kurven begrenzt:

1. Die obere Kante ist die Parabel y=x^2.
2. Die untere Kante ist die Gerade y=-x
3. Die rechte Kante ist die senkrechte Gerade durch x=1

Zeichne Dir diese Fläche mal auf. Angenommen die Aufgabe bestünde darin, den Flächeinhalt zu berechnen, dann müsste man einfach das folgende Doppelintegral lösen:

I= $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left ( \int_{-x}^{x^2}\! \, dy \right ) dx \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht die Aufgabe, denn in Deinem Fall hat das Integral den Integrand f(x)=x. Zu lösen ist also:

I= $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \left ( \int_{-x}^{x^2}\! x \, dy \right ) dx \end{eqnarray*}$

Dieses Integranl kann man wie folgt interpretieren:

Stell' Dir vor, die gegebene Fläche ist ein Stück Metall-Blech. Die Dichte des Metalls ist aber nicht homogen, sondern lautet $\begin{eqnarray*} \rho=x \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, die Dichte im Metall-Blech "wächst von links nach rechts", also proportional zur x-Koordinate. Das Integal liefert dann gerade die Masse des Bleches bei dieser variablen Dichte.

Zwar ist meine Interpretation etwas "an den Haaren herbei gezogen", aber ich hoffe, Du verstehst, was gemeint ist. Das formale Ausrechnen des Integrals ist trivial. Man beginnt mit dem "inneren" Integral.

27.04.2010, 11:35

WebFritzi

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Da finde ich meine Interpretation anschaulicher. Zumal sie eine "dreidimensionale Version" der Interpretation des einfachen Integrals ist.

27.04.2010, 12:09

Ehos

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@Webfritzi
Bei Doppelintegralen ist Deine Interpretation in der Tat anschaulicher und einfacher. Bei Dreifachintegralen bekommst Du aber Probleme mit Deiner Erlärung. Insofern ist meine Erläuetrung vielleicht etwas allgemeiner. Letztlich soll der Fragesteller entscheiden, was ihm besser gefällt.

27.04.2010, 12:13

WebFritzi

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Ah gut. Dann mag ich deine Anschauung für die Integration von Funktionen über dreidimensionale Körper. smile

27.04.2010, 12:31

Jonny123

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Also die Interpretation ist ja schon mal nciht schlecht. Beim Volumen kann ich mir nicht so viel vorstellen. Denn f(x,y)=x dürfte doch eigentlich eine Gerade in der x-z Ebene sein. Wie sieht dann das Volumen aus?

27.04.2010, 12:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Jonny123
Denn f(x,y)=x dürfte doch eigentlich eine Gerade in der x-z Ebene sein. Wie sieht dann das Volumen aus?

Und was ist mit y? Die Gerade in der x-z-Ebene musst du in beide y-Richtungen parallel verschieben. Dabei entsteht eine Fläche - und zwar der Graph von f.

27.04.2010, 21:10

Jonny123

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Ah die Y Koordinate habe ich vernachlässigt. Dann entsteht wirklich ein Volumen. Aber bei 3fach Integralen kann man sich das wirklich nur noch mit der Dichte eines Würfels vorstellen, oder?

28.04.2010, 03:44

WebFritzi

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Zum Beispiel, ja.

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