Unitäre/positiv definite Matrix bestimmen

26.04.2010, 20:08

9mb0

Unitäre/positiv definite Matrix bestimmen

Hallo,

Meine Frage
Wir betrachten die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2\sqrt3i & 1-i & -1 \\ -\sqrt3i & 2-2i & -2 \\ 0 & 1 & 1+i \end{pmatrix} \in GL_3(\mathbb C) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie eine unitäre Matrix U und positiv definite Matrix $\begin{eqnarray*} P \in GL_3(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=PU \end{eqnarray*}$ .

Mein(e) Ideen/Wissen

Naja also ich weiß das für eine Unitäre Matrix gilt $\begin{eqnarray*} U^**U=E \end{eqnarray*}$ und das die Spalten der unitären Matrix ein ON-System bilden und alle EW's Betrag 1 haben. Außerdem das P hermitesch sein muss, da nur hermitesche Matrizen positiv definit sein können. Hermitesch heißt $\begin{eqnarray*} P=P^* \end{eqnarray*}$

hm habe aber nicht wirklich viel Plan wie ich das auf die Aufgabe übertragen soll, wäre nett wenn mir jemand dabei hilft.

Mit freundlichem Gruß

9mb0

edit:bitte in's lin alg forum schieben Augenzwinkern

26.04.2010, 20:18

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RE: Unitäre/positiv definite Matrix bestimmen
Stichwort "Polarzerlegung". Kannst du damit was anfangen?

Gruß
MI

26.04.2010, 20:24

9mb0

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mhm wir hatten das gemacht, hatte ich noch nicht so ganz verstanden, werd mich mal hinhocken, dankeschön schon mal!

26.04.2010, 20:37

WebFritzi

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Um P zu berechnen stellst du AA* in der Form $\begin{eqnarray*} SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ mit einer Diagonalmatrix D = diag(d1,d2,d3) und einer unitären Matrix S dar. Wie das geht, solltest du wissen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} P = (AA^*)^{1/2} = SD^{1/2}S^{-1}, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2},\sqrt{d_3}). \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} U = AP^{-1}, \end{eqnarray*}$ und du bist fertig. Also geht es eigentlich nur darum, die Matrix AA* zu diagonalisieren.

27.04.2010, 17:17

9mb0

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Hallo, vielen Dank euch beiden!

nur leider mache ich bei deiner Anleitung scheinbar einen Fehler....

Also ich habe $\begin{eqnarray*} AA* \end{eqnarray*}$ berechnet dann berechne ich davon die Eigenwerte und Eigenvektoren, diese sind schon orthogonal, 2 davon müssen noch normiert werden um die unitäre Matrix S zu berechnen.

Für diese erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} S= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} &-\frac{1}{\sqrt2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt2} &\frac{1}{\sqrt2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es kommt dann auch meine Diagonalmatrix D raus mit 27,3,3 auf der Diagonale. Wenn ich aber dann, so wie du gesagt hast, P berechne und diese Matrix dann invertiere, kommt leider keine unitäre Matrix U raus. und die Probe Also A=PU funktioniert auch nicht. Kannst du mir sagen was ich verkehrt mache, oder worauf ich noch achten muss?

Mfg

9mb0

27.04.2010, 17:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von 9mb0
Kannst du mir sagen was ich verkehrt mache, oder worauf ich noch achten muss?

Ja. Meinen Anweisungen folgen. Das hast du nämlich (am Ende) nicht gemacht.

27.04.2010, 17:55

9mb0

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Also ich habe P wirklich so berechnet:

$\begin{eqnarray*} P=S*\begin{pmatrix} \sqrt27 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt3 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt3 \end{pmatrix}*S^{-1} \end{eqnarray*}$

und dann invertiert und $\begin{eqnarray*} U=A*P^{-1} \end{eqnarray*}$

und dann ist U nicht unitär

hm...

27.04.2010, 18:00

9mb0

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aaaaah ich habs^^

$\begin{eqnarray*} U= P^-1*A \end{eqnarray*}$

vielen vielen Dank!!

27.04.2010, 18:27

WebFritzi

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OK, sorry. Ich hab mich verschrieben. Ich meinte $\begin{eqnarray*} U = P^{-1}A. \end{eqnarray*}$ Aber das hättest du auch selber rausgekriegt, wenn du nicht nur nach Schema F gehen würdest. Es soll ja A = PU gelten.

27.04.2010, 18:36

9mb0

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ja habe ich ja dann selber rausgekriegt, hatte einfach nicht immer auf die Aufgabenstellung geschaut als ich das angewandt habe was du mir gesagt hast. Wenn man sowas das erste mal macht ist ein Schema ja nicht verkehrt.

Also danke für deine Hilfe! Freude

27.04.2010, 19:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von 9mb0
Wenn man sowas das erste mal macht ist ein Schema ja nicht verkehrt.

Das ist schon richtig. Nur sollte man nicht gleich schreien, wenn das Schema nicht 100%-ig funktioniert, sondern erstmal schauen, ob man evtl. selber den Fehler findet. Aber sei's drum.

27.04.2010, 19:24

9mb0

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ok, ich gelobe besserung Hammer

und danke für deinen, wie immer, sehr hilfreichen Post.

MfG

9mb0

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