Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen - Frage zum Beweis

26.04.2010, 20:54	Janeway	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen - Frage zum Beweis Ich habe eine Frage zum Beweis des Mittelwertsatzes für vektorwertige Funktionen. Die Definition sowie den Beweis habe ich aus dem Forster Analysis 2. Ich habe beim Beweis alle Schritte bis auf einen verstanden. Hier noch einmal die Definition: $\begin{eqnarray} U\subset \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} f:U\to\mathbb R ^m \end{eqnarray}$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei $\begin{eqnarray} x \in U, \xi \in \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} x+t\xi, 0\leq t\leq 1 \in U \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} f(x+\xi)-f(x)=(\int_0^1 \! Df(x+t\xi) \, dt )\xi \end{eqnarray}$ . Beweis* $\begin{eqnarray} f_i:U \to \mathbb R , i=1,...,m \end{eqnarray}$ Das sind jetzt also nur Komponenten von f. Man definiere sich Funktionen $\begin{eqnarray} g_i:\left[0,1\right] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g_i(t):=f_i(x+t\xi) \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} g_i(1):=f_i(x+\xi), g_i(0):=f_i(x) \end{eqnarray}$ Jetzt schaut man sich an, wie der Funktionszuwachs komponentenweise aussieht: $\begin{eqnarray} f_i(x+\xi)-f_i(x) = g_i(1) - g_i(0) \end{eqnarray}$ Das Gleichheitszeichen ist klar, so hatte man sich ja die g's konstruiert. Der nächste Schritt ist auch noch nachvollziehbar: $\begin{eqnarray} g_i(1) - g_i(0) = \int_0^1 \! g_i'(t) \, dt \end{eqnarray}$ Das gilt wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Aber jetzt kommt der Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! g_i'(t) \, dt = \int_0^1 \! (\sum\limits_{j=1}^n \frac{\delta f_i}{\delta x_j} (x+t\xi)\xi_j \, )dt \end{eqnarray}$ Das sind mir zu viele Schritte in einem, da steige ich nicht durch. Ich habe das noch in kleineren Schritten versucht mir zu erklären, warum das gelten soll (ich weiß, dass man die Kettenregel anwenden muss und ich mache einen Fehler beim Bilden der Ableitung): $\begin{eqnarray} f_i'(x+t\xi)=\frac{\delta f_i}{\delta (x+t\xi)} * \frac{\delta}{\delta t}(x+t\xi)= \frac{\delta f_i}{\delta (x+t\xi)}\xi \end{eqnarray}$ Aber das sieht ja nichtmal entfernt so aus wie im Beweis aus dem Forster. Wo kommt denn das Summenzeichen her? Und wieso xj?
26.04.2010, 21:07	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Das ist nichts anderes als das Produkt aus dem Gradienten von f an dieser bestimmten Stelle mit Xi, also: $\begin{eqnarray} grad f_i(x+t\xi) \xi = (\frac{\delta f_i(x+t\xi)}{\delta x_1}, ... , \frac{\delta f_i(x+t\xi)}{\delta x_n})\begin{pmatrix} \xi_1 \\ ... \\ \xi_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
26.04.2010, 22:24	Janeway	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach na klar! Danke! Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »