Axiomatische Geometrie - Vollständigkeitsaxiom - Verbindung zur Algebra |
| 26.04.2010, 23:26 | xuluci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Axiomatische Geometrie - Vollständigkeitsaxiom - Verbindung zur Algebra Ich mache mir gerade Gedanken über das Vollständigkeitsaxiom der euklidischen Geometrie und die Verbindung zur Algebra. Das Vollständigkeitsaxiom besagt, dass wir keine echte Erweiterung unserer Geometrie finden, ohne eines der vorhergehenden Axiome (Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz-, Parallelen- und archim. Axiom) zu verletzen. Das Vollständigkeitsaxiom bedeutet ja, dass wir unsere Geometrie so wählen, dass sie die größtmögliche ist, die es gibt. Also: ich habe mich nun gefragt: Über welchem Körper wählen wir unsere Geometrie? 1. Möglichkeit: im R x R -> macht wahrscheinlich keinen Sinn, da wir ja bestimmte Zahlen nicht konstruieren können, also zB. können wir keinen Winkel von 1/9 Pi nicht konstruieren. -> oder ich denke da zu kompliziert und wir wählen uns einfach R x R als die Menge unserer Punk 2. Möglichkeit: wir wählen als Grundkörper den Körper der Konstruierbaren Zahlen -> das ist Q adjungiert alle Quadratwurzeln (ist unendliche, aber abzählbare Körpererweiterung von Q, insbesondere ein Teilkörper von R) hat da jemand von euch den Durchblick und kann mir ein Feedback geben, ob meine Gedankengänge richtig sind? Liebe Grüße! |
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| 28.04.2010, 00:43 | Urza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Axiomatische Geometrie - Vollständigkeitsaxiom - Verbindung zur Algebra Ich bin zwar kein Experte in diesem Thema, aber ich versuche mal deine Frage zu beantworten mit dem, was ich weiß.
Was meinst du damit genau? Grob gesagt entspricht das Vollständigkeitsaxiom der euklidischen Geometrie, das du nennst, dem Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen. D.h. wenn man ausgehend von einem Modell für das Axiomensystem der euklidischen Geometrie inklusive Vollständigkeitsaxiom die Menge der Äquivalenzklassen von Strecken auf einer Geraden bezüglich der Kongruenzrelation in naheliegender Weise zu einem angeordneten Körper macht, dann ist dieser Körper bereits als angeordneter Körper isomorph zum Körper der rellen Zahlen. Den Bezug der Geometrie-Axiome zu konstruierbaren algebraischen Zahlen, geometrischen Konstruktionen usw. hat man jedenfalls nur, wenn man das Vollständigkeitsaxiom (und ggf. auch noch andere) weglässt. |
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