Unabhängigkeit von Ereignissen (im Produktraum)

27.04.2010, 16:59

gerd-280

Unabhängigkeit von Ereignissen (im Produktraum)

Hallo,

Ich würde euch höflichst bitten, mir bei folgender Stochastik-Aufgabe behilflich zu sein:

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega_1, P_1), (\Omega_2, P_2) \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeitsräume und darauf bilde ich nun den Produktraum, nämlich $\begin{eqnarray*} \Omega = \Omega _1 \times \Omega _2, \ P=P_1 \times P_2 \end{eqnarray*}$ .

Es ist zu zeigen dass für $\begin{eqnarray*} A_1\subset \Omega_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1\subset \Omega_1 \end{eqnarray*}$ gilt: Die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_1 \times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ sind unabhängig.

Also zwei Ereignisse $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind per def. unabhängig wenn $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn ich das richtig verstehe muss ich nachprüfen ob
$\begin{eqnarray*} P((A_1 \times \Omega_2) \cap ( \Omega_1 \times A_2) ) = P(A_1 \times \Omega_2)\cdot P(\Omega_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Wie kann ich das nun umformen/vereinfachen/anders schreiben??

Thanks in advance!
Gerd

27.04.2010, 17:02

gerd-280

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich habe mich oben bei zwei Indizes verschrieben.
Es muss korrekterweise heissen:

"Es ist zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} A_1\subset \Omega_1, \ A_2\subset \Omega_2 \end{eqnarray*}$ gilt: Die Ereignisse...."

Ansonsten hab ich keine Tippfehler drin.

27.04.2010, 17:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} P=P_1 \times P_2 \end{eqnarray*}$ ? Nun nichts weiter als

$\begin{eqnarray*} P(B_1 \times B_2) := P_1(B_1) \cdot P_2(B_2) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ aus den jeweiligen Sigma-Algebren.

Das eingesetzt für die drei Fälle

$\begin{eqnarray*} B_1=A_1,B_2=A_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_1=A_1,B_2=\Omega_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_1=\Omega_1,B_2=A_2 \end{eqnarray*}$

dann hat sich die Sache schon erledigt.

27.04.2010, 17:31

gerd-280

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo...

... und danke für die ausgesprochen schnelle Antwort!
Warum muss ich bei dieser Aufgabe eine Fallunterscheidung von drei verschiedenen Fällen machen? Das ist mir noch nicht so klar und außerdem ist mir nicht klar, was $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ist bzw. wie ich das rechnerisch behandeln soll. Wenn du mir das noch erklären könntest, wär das super.

Viele Grüße,
Gerd

27.04.2010, 18:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gerd-280
Warum muss ich bei dieser Aufgabe eine Fallunterscheidung von drei verschiedenen Fällen machen?

Oje, wie kann man das nur so missverstehen - hast du denn gar nicht über den Sinn nachgedacht??? unglücklich

Das Wort "Fall" kann man auch in anderer Bedeutung als in "Fallunterscheidung" verwenden.

27.04.2010, 20:17

gerd-280

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nochmal nachgedacht und es ist mir nun klar dass man keine Fallunterscheidung machen muss :-D

Das einzige Problem das ich noch habe, ist, diese Menge
$\begin{eqnarray*} (A_1 \times \Omega_2) \cap ( \Omega_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$

Die muss ich ja irgendwie umformen nur weiss ich nicht wie .... ?

27.04.2010, 20:58

Lord Pünktchen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unabhängigkeit von Ereignissen (im Produktraum)
Schau dir einfach mal die Distributivgesetze für das Kartesischen Produkts an

z.B. unter Wikipedia

Neue Frage »

Antworten »

Unabhängigkeit von Ereignissen (im Produktraum)

Verwandte Themen