Joukowski-Transformation

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27.04.2010, 17:18	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Joukowski-Transformation Und zwar geht's um die Joukowski-Transformation $\begin{eqnarray} f: \mathbb{C} \backslash \{0\} \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2} \cdot \left( z + \frac{1}{z} \right) \end{eqnarray}$ Behauptung ist, dass die Menge $\begin{eqnarray} \{z \in \mathbb{C}; \|z\| > 1\} \end{eqnarray}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \backslash [-1,1] \end{eqnarray}$ abbildet. Außerdem soll man die Umkehrfunktion angeben. Die Injektivität ist kein Problem, aber mit der Surjektivität (und damit verbunden der Umkehrfunktion) komme ich irgendwie nicht weiter. Ich hab' das ganze umgeformt zu $\begin{eqnarray} f(z) = u + \imath v \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} u = \frac{1}{2} \cdot \left( r +\frac{1}{r} \right) \cdot \cos \varphi<br /> v = \frac{1}{2} \cdot \left( r - \frac{1}{r} \right) \cdot \sin \varphi \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{\imath \varphi} \end{eqnarray}$ . Aber an der Stelle komme ich nicht weiter, irgendwie finde ich keine Umkehrfunktion. (Bemerken sollte man hierbei noch, dass die Wurzelfunktion soweit ich weiß im komplexen so nicht definiert ist, sonst wär's natürlich einfach...) Hat jemand einen Tipp?
27.04.2010, 19:05	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch einfach mal w = f(z) und stell nach z um.
27.04.2010, 19:20	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Dann müsste die Wurzelfunktion im komplexen definiert sein, ist sie aber nicht. Darauf wollte ich mit meiner Bemerkung ja hinweisen.
27.04.2010, 19:26	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer sagt, dass sie das müsste?
27.04.2010, 19:30	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2w = \frac{1}{z} + z <br /> \Leftrightarrow 2wz = 1 + z^2 <br /> z_{1/2} = w \pm \sqrt{w^2-1}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ und w (bzw. $\begin{eqnarray} w^2 \end{eqnarray}$ ) ist komplex. Wie soll ich also hier ohne komplexe Wurzelfunktion auskommen?
27.04.2010, 19:33	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu jedem $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ gibt es zwei verschiedene $\begin{eqnarray} w_1,w_2\in\mathbb C, \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} w_j^2 = z \end{eqnarray}$ gilt.
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27.04.2010, 19:58	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir auch klar. Und was hilft mir das? Ich meine: Ich brauche ja schon irgendwie ein eindeutiges Urbild auf dem gegebenen Gebiet.
28.04.2010, 03:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas weniger schnippisch, bitte. Ich bin schließlich ein Helfer. Und denen sollte man wohlwollend entgegenkommen, denn sonst kommen sie einem nicht mehr entgegen. Zu deiner Frage: Dann such dir doch einfach eines.
28.04.2010, 06:05	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mir einfach eines suche, ist es doch aber nicht eindeutig. Sei f(a) = f(b) mit $\begin{eqnarray} a \not= b \end{eqnarray}$ . Dann kann ich doch auch nicht einfach sagen: "Ich suche mir a aus und damit ist es eine eindeutig definierte Umkehrfunktion"... (Und es war nicht schnippisch gemeint, ich finde nur deine kurzen Kommentare teilweise begrenzt hilfreich.)
28.04.2010, 18:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die formale Auflösung von $\begin{eqnarray} w = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} z = w \pm \sqrt{w^2 - 1} \end{eqnarray}$ Dabei steht das Symbol $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{a} \end{eqnarray}$ hier symbolisch für die beiden (außer für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ ) verschiedenen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} s^2 = a \end{eqnarray}$ , im Sinne des logischen "oder". Die Rechnung $\begin{eqnarray} \left( w - \sqrt{w^2 - 1} \right) \left( w + \sqrt{w^2 - 1} \right) = 1 \end{eqnarray}$ zeigt nach Übergang zum Betrag, daß entweder beide Klammern vom Betrag 1 sind oder die eine einen größeren, die andere einen kleineren Betrag als 1 hat. Und du mußt diejenige Lösung wählen, die einen Betrag größer 1 hat. Ob zur Lösung der Aufgabe diese Festlegung genügt oder du den Zweig der Wurzel noch irgendwie anders charakterisieren mußt, kann ich nicht beurteilen. Beispiele: a) $\begin{eqnarray} w = 2 \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} z = 2 \pm \sqrt{3} \end{eqnarray}$ , und bei reellen Radikanden soll das Wurzelzeichen für die positive Wurzel stehen. Damit ist der richtige Wert für die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} z = 2 + \sqrt{3} \end{eqnarray}$ , denn dessen Betrag ist größer als 1. b) $\begin{eqnarray} w = -2 \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} z = -2 \pm \sqrt{3} \end{eqnarray}$ . Hier ist $\begin{eqnarray} z = -2 - \sqrt{3} \end{eqnarray}$ der richtige Wert für die Umkehrfunktion. c) $\begin{eqnarray} w = \operatorname{i} \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} z = \left( 1 \pm \sqrt{2} \right) \operatorname{i} \end{eqnarray}$ . Welches Vorzeichen ist das richtige? d) Was wäre bei $\begin{eqnarray} w = 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray}$ der richtige $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Wert?
28.04.2010, 19:57	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiele: c) $\begin{eqnarray} z = (1+\sqrt{2}) \imath \end{eqnarray}$ d) Da komme ich auf eine unschöne Zahl, aber laut meiner Überprüfung sollte es stimmen. Hier mal ein paar Dezimalstellen: $\begin{eqnarray} z \approx 1,78615 + 2,27202 \imath \end{eqnarray}$ Ansonsten: Danke dir für deine Erklärung. Hat auf jeden Fall einiges klarer gemacht. Nichtdestotrotz bleibt ja anscheinend das Problem, dass man nicht weiß, welchen Ast der Wurzel man braucht ... aber vllt. kann man in dem Fall wirklich einfach keine bessere Umkehrfunktion angeben.

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