3x3 Matrix Eigenwert Problem

27.10.2006, 00:18

atze

3x3 Matrix Eigenwert Problem

Habe folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} * \lambda \end{eqnarray*}$

Nach Sarrus folgt:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda)*(3-\lambda )*(2-\lambda ) - [(2-\lambda )*(-4)*(1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3+\lambda-3\lambda+\lambda^2 - [-8 + 4\lambda] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 -2\lambda-3+8-4\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 -6\lambda+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{2} \pm \sqrt{(\frac{6}{2})^2 -5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \pm 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=1 x_{2}=5 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Matrix aber hier eingebe, bekommt man als Eigenwerte 1 und 2 heraus. Was habe ich falsch gemacht?

27.10.2006, 00:23

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} -3+\lambda-3\lambda+\lambda^2 - [-8 + 4\lambda] \end{eqnarray*}$

Diese Zeile stimmt nicht, denn du hast da irgendwie das (2-lambda) vergessen...

Die Eigenwerte 1 und 2 stimmen.

Gruß Björn

27.10.2006, 01:26

atze

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Da sieht man so spät den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Nach Sarrus folgt:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda)*(3-\lambda )*(2-\lambda ) - [(2-\lambda )*(-4)*(1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3+\lambda-3\lambda+\lambda^2 *(2-\lambda) - [-8 + 4\lambda] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3+4\lambda ^2-\lambda -6 +8 -4\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3+4\lambda ^2-5\lambda+2 \end{eqnarray*}$

und jetzt? Schätzen oder Polynomdivision? Hänge gerade auf demSchlauch!

27.10.2006, 06:49

Egal

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Du hast dich auch schon wieder verrechnet und vor allem eine wichtige Klammer vergessen. Aber ansonsten wäre jetzt erstmal schätzen und dann Polynomdivision das richtige Mittel.

27.10.2006, 08:53

klarsoweit

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RE: 3x3 Matrix Eigenwert Problem

Zitat:

Original von atze
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} * \lambda \end{eqnarray*}$

Und warum wird jetzt die Matrix mit lambda multipliziert? verwirrt

27.10.2006, 10:58

atze

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$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} - E* \lambda \end{eqnarray*}$

27.10.2006, 11:06

Bjoern1982

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Nochmal ein kleiner Tip:

Hier bietet es sich an eher auszuklammern anstatt mühselig einen kubischen Term durch Ausmultiplizieren zu bilden.

Und zwar schon hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda)*(3-\lambda )*(2-\lambda ) - [(2-\lambda )*(-4)*(1)] \end{eqnarray*}$

Der Term, der dann in der Klammer übrig bleibt ist wieder eine binomische Formel. Dadurch hast du dann schon alles in faktorisierter Form stehen und es ist dadurch sehr leicht die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also die Eigenwerte, abzulesen.

Gruß Björn

27.10.2006, 13:52

atze

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Probiere es mal aus!

27.10.2006, 16:41

atze

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ne, habe es doch mit ausmultiplizieren gemacht. Das andere habe ich nicht verstanden.

Jetzt Term für Term:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda )*(3-\lambda ) => -3+\lambda -3\lambda +\lambda ^2 => \lambda ^2-2\lambda -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda ^2-2\lambda -3 *(2-\lambda)=> 2\lambda^2 -4\lambda-6-\lambda^3+2\lambda^2+3\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2-\lambda-\lambda^3-6=> -\lambda^3+4\lambda^2-\lambda-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda^3+4\lambda^2-\lambda-6 - [(2-\lambda)*(-4)*1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda^3+4\lambda^2-5\lambda+2 \end{eqnarray*}$

erste polstelle durch raten = 1

Durch raten kann man aber doch auch die 2 raus finden!

27.10.2006, 16:48

Egal

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Stimmt aber erst wenn du auch eine dritte geraten hättest könntest du sicher sein alle Nullstellen gefunden zu haben.

27.10.2006, 23:11

atze

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zwar spät aber bin nach kurzer Pause fertig.

Die Polynomdivision:

( - x^3 + 4x^2 - 5x + 2) : (x - 1) = -x^2 + 3x - 2
- x^3 + x^2
—————————————————————————
3x^2 - 5x + 2
3x^2 - 3x
———————————————
- 2x + 2
- 2x + 2
—————————
0

Jetzt PQ-Formel anwenden, daher auf $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bringen

$\begin{eqnarray*} -x^2 + 3x - 2 = x^2-3x +2 \end{eqnarray*}$

Noch einmal alles im Überblick:

charakteristisches Polynom:
$\begin{eqnarray*} x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \end{eqnarray*}$

reelle Eigenwerte:
$\begin{eqnarray*} {1; 1; 2} \end{eqnarray*}$

Eigenvektor zu Eigenwert 1:
$\begin{eqnarray*} (-1; -2; 1) \end{eqnarray*}$
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
$\begin{eqnarray*} (-1; -2; 1) \end{eqnarray*}$
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
$\begin{eqnarray*} (0; 0; 1) \end{eqnarray*}$

28.10.2006, 12:14

Egal

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Sieht soweit doch ganz nett aus nur dieses Gleichheitszeichen macht mir Bauchschmerzen.

Zitat:

Original von atze
$\begin{eqnarray*} -x^2 + 3x - 2 = x^2-3x +2 \end{eqnarray*}$

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