Umformung der Formeln zu Varianz und Erwartungswert bei logarithmischer Normalverteilung

27.04.2010, 18:20	Absynth	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung der Formeln zu Varianz und Erwartungswert bei logarithmischer Normalverteilung Hallo, ich hab ein kleines Verständnisproblem: Ich möchte gerne die Formeln für die Varianz und den Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung so umformen, das man mit Hilfe der Varianz und des Erwartungswertes den mü und sigma-Wert der korrespondierenden Normalverteilung berechnen kann (das Ganze soll dann durch einen Zufallszahlengenerator erzeugt werden). Mir ist klar, dass das Endergebnis bei Wikipedia steht, aber mir gehts ums Verständnis der Umformung. Einfach ist natürlich: $\begin{eqnarray} E(Y) = e^\mu+\frac{\sigma^2}{2} \end{eqnarray}$ umzuformen in: $\begin{eqnarray} \mu = ln(E) - \frac{\sigma^2}{2} \end{eqnarray}$ Komplizierter für mich ist es aber, die Formel für Varianz nach sigma-quadrat aufzulösen: $\begin{eqnarray} V(Y) = e^{2\mu+{\sigma^2}} * (e^{\sigma^2} - 1) \end{eqnarray}$ wobei ich mit diversen Umformungsschritten immerhin so weit gekommen bin (wovon ich hoffe das alle korrekt waren): $\begin{eqnarray} {\sigma^2} = ln\left( \frac{V}{E^2} \right) - ln(1 - e^{-\sigma^2}) \end{eqnarray}$ wobei das Endergebnis aber laut Wikipedia so aussehen sollte: $\begin{eqnarray} {\sigma^2} = ln\left( \frac{V}{E^2} + 1 \right) \end{eqnarray*}$ Meine Frage jetzt: Habe ich bei den Umformungen einen Fehler gemacht oder ist es möglich die gewünschte Endformel zu erreichen und wenn ja, wie? (Ich fürchte es ist sehr leicht und ich hab irgendeine Regel vergessen ) Danke im Voraus!
27.04.2010, 20:45	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung der Formeln zu Varianz und Erwartungswert bei logarithmischer Normalverteilung Die Varianz ausmultiplizieren bringt: $\begin{eqnarray} VAR = e^{2\mu + 2\sigma^2} - EW^2 \end{eqnarray}$ Dividiere einfach mal $\begin{eqnarray} EW^2 \end{eqnarray}$ ... dann solltest du es sehen
27.04.2010, 21:01	Absynth	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt ja, vielen Dank :-D

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