Subbasis fuer die gewoehnliche Topologie auf den reelen Zahlen

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mathelisl Auf diesen Beitrag antworten »
Subbasis fuer die gewoehnliche Topologie auf den reelen Zahlen
Meine Frage:
Zu zeigen ist dass, das System S



eine Subbasis fuer die gewoehnliche Topologie auf ist.

Meine Ideen:
Die gewoehnliche Topologie auf den reelen Zahlen ist die Menge aller offener Intervalle ]a,b[.
Eine Subbasis ist ein System von Mengen, deren endliche Durchschnitte eine Basis der Topologie bilden, bzw. deren endliche Durchschnitte man so Vereinigen kann sodass man damit jede beliebige Teilmenge der Topologie erhaelt.

dh. ich muss in meinem Beispiel das offene Intervall ]a,b[ als Vereinigung von Durchschnitten aus S darstellen.
mein Problem: ich kann nicht sehen wie das gehen soll.
in S ist die ganze Menge R enthalten, denn wenn ich a<b fordere und dann a und b in der Defenition von S vertausche, also: ]-inf, b[ u ]a,inf[ erhalte ich ganz R.
in S ist etwas drinnen das alles bis auf ein abgeschlossenes Intervall [a,b] enthaelt.
wenn ich das mit der ganzen menge schneide kommt wieder das gleiche raus - aber mein offenes Intervall ]a,b[ ist grad nicht drinnen. unglücklich .
weis jemand was mir gedanklich auf die spruenge helfen koennte sodass ich die richtige konstruktion sehe?

dann noch zur frage warum a und b rational sein muessen. - was macht man wenn die grenzen der offenen intervalls das man produzieren will bloederweise mal irrational sind?

und DANKE schon mal im Vorhinein an alle!
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subbasis fuer die gewoehnliche Topologie auf den reelen Zahlen
Hallo,

Sei , mit a < b ein Intervall.
Nun ist


beachte hier habe ich vorrausgesetzt, dass a,b rational sind. den anderen Fall muss man wohl ergänzen.

also auch ein Element aus der erzeugten "Basis."

Beachte, dass auch beliebige vereinigungen von offenen Mengen offen sind. also musst du dieses nicht nur für ein Intervall zeigen...
Ausser natürlich du weisst, dass die Menge der (a,b) eine Basis bildet.

Auf die Frage, wieso dort die rationalen Zahlen gewählt wurden, schätze ich, dass man sich die Abzählbarkeit vorbehalten wollte. Damit hätte man wohl auch eine abzählbare Basis der reelen Zahlen gefunden. (erste Bedingung, dass R eine Mannifaltigkeit ist.)

mfg.
mathelisl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subbasis fuer die gewoehnliche Topologie auf den reelen Zahlen
aso!!!! Big Laugh

d.h. das nicht jede menge die ich aus S rausnehme immer eine Vereinigung von einem intervall mit minus undendlich und einem mit +unendlich sein muss......sondern ich kann auch nur eines der beiden intervalle rausnehmen. und dann ein anderes - und das die geschnitten dass das ergeben......ach warum hab ich meinen ersten gedanken nach dem lesen des beispiels nicht ein zweitesmal ueberdacht?????


danke dir. glaub jetzt sollt ichs zusammenkriegen.
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