DGL aufstellen (Schneepflug)

27.04.2010, 19:14

Mulder

DGL aufstellen (Schneepflug)

Hallo!

Ich habe hier ein kleines Problem...

Die Geschwindigkeit eines Schneepflugs ist umgekehrt proportional zur Schneehöhe. Eines Tages begann es stark und gleichmäßig zu schneien. Der Schneepflug fuhr mittags los und schaffte 2km in der ersten Stunde, und 1km in der zweiten Stunde. Wann hatte es angefangen zu schneien?

Ich tu mich echt schwer, daraus jetzt was verwertbares zu basteln.

Für die Schneehöhe h(t) hatte ich mir erstmal stumpf überlegt:

$\begin{eqnarray*} h(t) = bt+h_0 \end{eqnarray*}$

Dann wäre h_0 eben gerade die Schneehöhe, die bereits vorhanden ist, wenn der Pflug los fährt. Der Zeitpunkt t=0 wäre dann der Mittag. Ist das ungünstig gewählt?

Wie kann ich das

$\begin{eqnarray*} v_{\text{Pflug}} \sim \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

verwurschteln?

Ich will ja wissen, wann es anfing, zu schneien. Aber wie gesagt weiß ich gar nicht, welcher Art die DGL sein soll, die ich aufstellen muss. Muss mein Ziel die Funkton h(t) sein, von der ich dann vielleicht die Nullstelle finden kann? Wie bringe ich die Bedingungen rein? Ich stehe gerade echt etwas daneben...

27.04.2010, 20:22

giles

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Schwierig schwierig...
Meine Taktik war jetzt folgendermaßen
Gesucht: $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ welches für

$\begin{eqnarray*} h(t)=\Theta (t-t_0) b t + h_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<t_0 <2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t)=\frac{K}{h(t)} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

das erfüllt:
$\begin{eqnarray*} \int^1 _0 \dot{x}(t) dt=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int^2 _1 \dot{x}(t)dt=2 \end{eqnarray*}$

----

Damit kriegt man in 2 versch. Fällen je 2 Gleichungen für 4 Unbekannte raus
Fall $\begin{eqnarray*} 0<t_0<1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=K\frac{t_0}{h_0}+\frac{K}{b} \ln (\frac{b+h_0}{h_0 + b t_0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=K \ln (\frac{2+h_0}{1+h_0}) \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} 1<t_0<2: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{K}{h_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=K\frac{t_0}{h_0}+\frac{K}{b} \ln (\frac{2b+h_0}{h_0 + b t_0}) \end{eqnarray*}$

was natürlich auch nicht besonders weit hilft, wenn man sich eine eindeutige, unabhängige Lösung erhofft hat... meiner Meinung nach eine ziemlich unrealistische Hoffnung bei so vielen unbekannten smile

Nach Neuwahl des Einheitensystems kann K=1 gesetzt werden, was dann aber zum Umrechnung von den dann entstehenden arbitrary units auf das SI system eine weitere Information (z.B. aus der Quantenschneepflugtheorie) erfordert.

Ich hab es nicht geschafft es algebraisch nach t0 umzustellen, aber Mathematica mit dem Produktlogarithmus schon:
Fall 1:
$\begin{eqnarray*} t_0 = -\frac{h_0}{b} - \frac{h_0}{b} \operatorname{ProductLog}[ \frac{e^{-1-\frac{b}{K}}(b+h_0)}{h_0}] \end{eqnarray*}$

Fall 2:
$\begin{eqnarray*} t_0 = -\frac{h_0}{b} - \frac{h_0}{b} \operatorname{ProductLog}[ \frac{e^{-1-\frac{2b}{K}}(2b+h_0)}{h_0}] \end{eqnarray*}$

kA wie du das siehst, aber ich bin nicht begeistert Augenzwinkern

27.04.2010, 20:28

Mulder

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"Nicht begeistert" ist milde ausgedrückt. verwirrt

Zitat:

Original von giles
das erfüllt:
$\begin{eqnarray*} \int^1 _0 \dot{x}(t) dt=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int^2 _1 \dot{x}(t)dt=2 \end{eqnarray*}$

Wo kommt das denn her? Müsste das nicht genau andersrum sein?

27.04.2010, 20:31

giles

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Zitat:

Original von Mulder
Wo kommt das denn her? Müsste das nicht genau andersrum sein?

Gott-o-gott hast ja Recht. Man bin ich verschallert.
Ich sollte wirklich mal gründlicher die Aufgabe lesen, das spart Zeit -.-

Da hab ich mir die Arbeit gemacht das alles abzutippen... ich versuch es gleich nochmal mit den vertauschten Rollen Mathematica einzufüttern.

edit: k hatte Glück es war noch im Kernel drin. War nur wenig zu ändern (eine 2 hat sich umverteilt). Die Lösung die auch der Aufgabe entspricht wäre jetzt

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} t_0 = -\frac{h_0}{b} - \frac{h_0}{b} \operatorname{ProductLog}[ \frac{e^{-1-\frac{2b}{K}}(b+h_0)}{h_0}] \end{eqnarray*}$

Fall 2:
$\begin{eqnarray*} t_0 = -\frac{h_0}{b} - \frac{h_0}{b} \operatorname{ProductLog}[ \frac{e^{-1-\frac{b}{K}}(2b+h_0)}{h_0}] \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Lösungen jetzt z.B. für "große b" diskutiert kommen kommen auch Werte raus, die man erwarten würde. Die Lösung scheint schon ok zu sein, aber ich zumindest hatte eine unabhängige Lösung erwartet (frag mich nicht wieso).

27.04.2010, 20:53

Mulder

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RE: DGL aufstellen (Schneepflug)
Vom Regen in die Traufe...

Schon erstaunlich, dass diese Aufgabe so beknackt sein soll.

Vielleicht ist die Aufgabenstellung ja auch irgendwie fehler- oder lückenhaft. Das ist ja jenseits von Gut und Böse, was Mathematica da anbietet. Ich muss morgen mal nachfragen. So komme ich erstmal wohl nicht weiter.

Danke, dass du dir soviel Mühe gemacht hast. smile

28.04.2010, 11:04

Ehos

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Die Geschwindigkeit des Schneepfluges ist umgekehrt proportional zur Schneehöhe h(t), welche linear gemäß $\begin{eqnarray*} h(t)=b \cdot t+h_0 \end{eqnarray*}$ wächst, also

$\begin{eqnarray*} \dot {x}=\frac{K}{b \cdot t+h_0} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \dot {x} \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit des Schneepfuges, also die 1.Ableitung dessen Weges nach der Zeit. Der Proportionalitätsfaktor K hat die Einheit $\begin{eqnarray*} [m^2/s] \end{eqnarray*}$ und ist ein Maß für die Leistung des Schneepfluges ist. Die Größe b ist zu "Wachstumsgeschwindigkeit" der Schneehöhe. Den zurückgelegten Weg des Schneepfluges erhälst Du durch Integration der obigen Gleichung, also

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{K}{b} \cdot \log (b \cdot t+h_0)-\frac{K}{b} \cdot \log (h_0) \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand ist eine Integrationskonstante, welche ich so gewählt habe, dass gilt x(0)=0. Der Schneepflug beginnt also beim Kilometer x(0)=0. Wir schreiben die obige Formel einfacher als

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{K}{b} \cdot \left ( \log \left ( \frac{b \cdot t+h_0}{h_0} \right ) \right )=A \cdot \log ( B \cdot t+1) \end{eqnarray*}$

Im 2.Schritt wurden folgende Abkürzungen eingeführt

$\begin{eqnarray*} A=\frac{K}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\frac{b}{h_0} \end{eqnarray*}$

Laut Aufgabenstellung hat der Schneepflug in der 1.Stunde 2 km zurückgelegt und in der 2.Stunde 1 km, also insgesamt nach 2 Stunden 3 km. Das bedeutet

$\begin{eqnarray*} x(1)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(2)=3 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die obige Lösung liefert

$\begin{eqnarray*} 2=A \cdot \log (B+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=A \cdot \log (2B+1) \end{eqnarray*}$

Das ist ein Gleichungssystem für die Konstanten A, B. Weiter unten sehen wir, dass wir A gar nicht benötigen. Umstellen beider Gleichungen nach A und Gleichsetzen liefert nach kurzer Rechnung unter Benutzung der Logarithmengesetze eine Gleichung für B.

$\begin{eqnarray*} (2B+1)^2=(B+1)^3 \end{eqnarray*}$

Das kann man vereinfachen zu

$\begin{eqnarray*} 0=B \cdot (B^2-B-1) \end{eqnarray*}$

Wir haben also 3 Lösungen

$\begin{eqnarray*} B_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Aus physikalischer Sicht ist nur die letzte Lösung brauchbar, weil sie positiv ist. Wir haben also die Konstante

$\begin{eqnarray*} B=\frac{b}{h_0}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Wir erinnern uns, dass die Schneehöhe gemäß folgender Gleichung zunimmt

$\begin{eqnarray*} h(t)=b \cdot t+h_0 \end{eqnarray*}$

Die Nullstelle dieser Gleichung gibt an, wann es angefangen hat zu schneien, also

$\begin{eqnarray*} t_0=-\frac{h_0}{b}=-\frac{1}{B}=-\frac{2}{1+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Diese Zeit ist negativ, weil die Zeit bisher so gezählt wurde, dass der Zeitpunkt t=0 beim Losfahren des Schneepfluges gewählt wurde. Legt man dagegen willkürlich fest, dass der Schneepflug mittags losgefahren ist, also um t=12, dann muss man die Uhr anders stellen und einfach 12 addieren. Demnach hat es zu folgendem Zeitpunkt angefangen zu schneien

$\begin{eqnarray*} t=12+t_0=12-\frac{2}{1+\sqrt{5}}=11,382=11:23 \end{eqnarray*}$

28.04.2010, 13:14

Mulder

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RE: DGL aufstellen (Schneepflug)

Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{K}{b} \cdot \log (b \cdot t+h_0)-\frac{K}{b} \cdot \log (h_0) \end{eqnarray*}$

Da könnte man verrückt werden, soweit war ich in einem ersten Entwurf auch schon, habe das aber wieder verworfen, weil irgendwie mehr Parameter drin standen, als ich Bedingungen hatte. Ich hielt das daher für Quatsch. Das hast du natürlich ganz elegant gelöst mit der Neubenennung der Parameter.

Allerdings hatte ich nicht bestimmt integriert (also von x bis 0), sondern zunächst unbestimmt. Wurmt mich, dass ich es schon fast hatte und dann verworfen habe, weil ich mal wieder keinen Durchblick hatte...

Vielen Dank, Ehos! Wink

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