Ungleichung durch Bernoulli zeigen

27.04.2010, 19:31

Sebbo

Ungleichung durch Bernoulli zeigen

Meine Frage:
Hallo Matheboard!

die folgende Ungleichung (1 + 1/n)^n > (1 + 1/(n-1) )^(n-1) für alle natürlichen n >= 2.
Zu Zeigen ist dieses durch die Bernoulli-Ungleichung.

Meine Ideen:
( 1 + 1/n)^n > 1 + 1/n * n => (1+1/n)^n > 2
zz: 2 >= (1 + 1/(n-1) )^(n-1), aber das gilt ja nicht.

sonst wissen wir:

(1 + 1/n)^n / (1 + 1/(n-1) )^(n-1) > 1

28.04.2010, 09:24

klarsoweit

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RE: Ungleichung durch Bernoulli zeigen

Zitat:

Original von Sebbo
sonst wissen wir:

(1 + 1/n)^n / (1 + 1/(n-1) )^(n-1) > 1

Nun ja, das wissen wir nicht, sondern die Idee wäre, genau dieses zu zeigen. Am besten macht man dazu eine kleine Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1 + \frac 1 n)^n}{(1 + \frac{1}{n-1})^{n-1}} = \frac{(\frac{n+1}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}} \end{eqnarray*}$

28.04.2010, 13:10

Sebbo

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Danke, klar wissen wir das nicht.

Damit bin ich aber leider nicht weiter gekommen, deshalb habe ich es anders Probiert:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} - \left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ > 0

da komme ich aber auf einen Widerspruch.

Die Aufgabe ist ja auch wie man es mit Bernoulli zeigen kann. Da habe ich wirklich keine weitere Idee

Vielen Dank!

28.04.2010, 13:53

Matheseppel

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Ich habe auch das gleiche Problem.
Durch Suche im Forum bin ich hier drauf gestoßen und wollte mal meinen Senf dazu geben.

Nach Bernoulli ergab sich für mich folgende Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} > \left(1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \Rightarrow \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} > 1 + \frac{1}{n} n \geq \left(1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} > 1 + \frac{1}{n-1}n-1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß da auch nicht weiter..

Grüße,

Matheseppel

28.04.2010, 14:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sebbo
Damit bin ich aber leider nicht weiter gekommen, deshalb habe ich es anders Probiert:

Wenn ich sage, daß es damit geht, dann brauchst du erst gar nichts anderes ausprobieren. Also ich mache noch den nächsten Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1 + \frac 1 n)^n}{(1 + \frac{1}{n-1})^{n-1}} = \frac{(\frac{n+1}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{(\frac{n+1}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^n} \end{eqnarray*}$

Jetzt aus dem Doppelbruch einen einzigen Bruch machen.

28.04.2010, 16:27

sebbo

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Vielen Dank für den Denkanstoß

Jetzt habe ich aber ein weiteres Problem

Hier ist der Beweis

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} > \left(1+\frac{1}{n-1} \right)^{n-1} <=> \frac{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}}{\left(1+\frac{1}{n-1} \right)^{n-1}} > 1 = \frac{\left(\frac{n+1}{n} \right)^{n}}{\left(\frac{n}{n-1} \right)^{n-1}} = \frac{n}{n-1} \frac{\left(\frac{n+1}{n} \right)^{n}}{\left(\frac{n}{n-1} \right)^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n-1} \left(\frac{\left(\frac{n+1}{n} \right)}{\left(\frac{n}{n-1} \right)}\right)^{n} = \frac{n}{n-1} \left(\left(\frac{n+1}{n} \right)\left(\frac{n-1}{n} \right)\right)^{n} = \frac{n}{n-1} \left(\frac{(n+1)(n-1)}{n^{2}} \right)^{n} = -1^{n} \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

nun die $\begin{eqnarray*} -1^{n} \end{eqnarray*}$ sieht für mich alternierend aus. Deshalb gilt die Gleichung nicht für alle natürlichen n >= 2
Hm oder habe ich noch irgendwo einen Fehler?

28.04.2010, 18:53

sebbo

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Ich hab mich eben noch mal dran gesetzt und einen Flüchtigkeitsfehler gesehen... Hammer

"Aus Summen kürzen dumme"

Danke für die geduldige Hilfe.

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