Eigenraum

27.04.2010, 20:42

"yannick"

Eigenraum

Guten Abend,
Bin neu hier und hoffe, dass ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen könnt. Ich habe z.B folgende Matrix gegeben B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2& -2 \\ -1 & 4 & 2 \\ 2 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun möchte ich die Dimension des Eigenwertes zum Eigenwert 2 berechnen um prüfen zu können ob B diagonalisierbar ist. Mein Kern ist also: kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nach Umformung erhalte ich dann ker $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also muss gelten, dass 2 $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -4 $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -
4 $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ = 0 sein muss. Blöde Frage aber was sagt das mir über die Dimension des Eigenraumes verwirrt

Viele Grüße
yannick

27.04.2010, 21:41

tigerbine

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RE: Eigenraum
[Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren

Du hast hier also 2 freie Variablen (ersetze x3 und x2, x1 ist dann bestimmt). Die Dimension des Eigenraums ist also 2.

Zur Probe [maple]

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:

A:=matrix(3,3,[3,-2,-2,-1,4,2,2,-4,-2]);
                             [ 3    -2    -2]
                             [              ]
                        A := [-1     4     2]
                             [              ]
                             [ 2    -4    -2]

> R0 := linalg[eigenvects](A);

     R0 := [1, 1, {[-1, 1, -2]}], [2, 2, {[2, 0, 1], [2, 1, 0]}]

>

27.04.2010, 22:32

"yannick"

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Liebsten Dank für deine Antwort Augenzwinkern

Also blöd formuliert: Die Anzahl der x die ich frei wählen darf sind dann die Dimension?

27.04.2010, 22:43

tigerbine

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Ja, wie im Artikel. Siehst es in dem Beispiel, wie sich die l.u. Vektoren aufbauen.

Mit einem anderen Blick auf die Matrix: Sie hat offensichtlich Rang 1, da nur eine Zeile von 0 verschieden ist. Folglich muss der Kern die Dimension 2 haben, wenn es sich um eine 3x3 Matrix handelt. Augenzwinkern

28.04.2010, 09:11

"yannick"

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Noch ne kurze Frage. wie bestimme ich noch den Hauptraum zum Eigenwert? Läuft doch immer so ab, dass ich erst die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts bestimme dann seine geometrische und vergleiche ob diese übereinstimmen. Wenn das nicht der Fall ist erweiter' ich den Eigenraum zum Eigenwert einfach so dass dessen Dim der der algebraischen Vielfachheit ist. Und erhalte Hau durch (A-xid) hoch algebr.Vielfachheit des Eigenwerts. So aber was bringt einem der Hauptraum noch mal? verwirrt

Insbesondere für die Bestimmung der jordanschen Normalform einer Matrix?
yannick

28.04.2010, 14:46

tigerbine

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[Artikel] Jordansche Normalform

http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum

28.04.2010, 19:47

"yannick"

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Vielen Dank für den Link. Dann werd' ich gleich mal versuchen das nachzukochen Augenzwinkern

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