Erzeugendensystem + Untervektor

27.04.2010, 23:03	Peter_Schmitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem + Untervektor Meine Frage: Hallo an alle! Ich hätte eine dringende Bitte: ich schreibe morgen Schulaufgabe und gerade ist mir eine Aufgabe aufgefallen, bei der ich einfach auf keinen Lösungsansatz komme. Ich weiß, dass ich recht spät dran bin mit meiner Frage, dennoch hoffe ich, dass mir noch geholfen werden kann. Die Aufgabe lautet: Man gebe ein Erzeugendensystem des angegebenen Untervektorraumes R³ an: U=(a -a b) \| a,b E(lement aus) R) Ich hoffe, dass mir noch jmd. helfen kann. Ich weiß wirklich nicht, wie ich vorgehen soll. Gruß, Peter Meine Ideen: Nun, das einzige, was mir durch den Kopf schwirrt, ist, dass ich, da man ja ein Erzeugendensystem des R³ bilden soll, 3 Gleichungen aufstellen kann, wobei ich nicht weiß, was mir dies bei so vielen Unbekannten weiterhelfen soll.
27.04.2010, 23:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem + Untervektor Bitte überarbeite deine UVR Defintiion? Was soll (a -ab) bedeuten? $\begin{eqnarray} (a, -ab) \end{eqnarray}$ ?
27.04.2010, 23:20	peter_schmittz	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich musste mich neu anmelden: (a -a b) sollte für die Tuppelschreibweise von Vektoren stehen. Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ -a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
27.04.2010, 23:45	peter_schmittz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem ich leider meinen Beitrag nicht mehr editieren kann, hier ein "Lösungsvorschlag", der mir jedoch sehr seltsam vorkommt. Warsch. habe ich einfach die Aufgabe nicht verstanden. Man kann doch ein Erzeugendensystem des R³ auch angeben als $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Aus diesem Erzeugendensystem kann man jeden Untervektorraum, der Vektoren enthält, die durch die 3 Richtungen beschreibt werden können, darstellen. Aber wäre dann die Aufgabe nicht unsinnig, zumahl es noch eine Variation des Untervektorraumes bei einer 2. Teilaufgabe gibt, bei der man ebenfalls das Erzeugendensystem bestimmen muss?
27.04.2010, 23:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe mal einen Weg hin, da du noch nicht den richtigen Blick auf die Sache hast. $\begin{eqnarray} U=\{(a,-a,b)^T~ \|~ a,b \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ Was liegt da drin? Was möglichst einfach ist? * $\begin{eqnarray} (0,0,0)^T \end{eqnarray}$ [Bringt für Dimension nichts, ist aber guter Test ob wirklich UVR] * $\begin{eqnarray} (1,-1,0)^T \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} (0,0,1)^T \end{eqnarray}$ => Diese 2 Vektoren sind l.u. Und mehr gibt es in dem UVR auch nicht. Wir sehen ja schon, dass Komponente 1 und 2 abhängen, wir also nicht den im IR³ liegenden Vektor (1,0,0) in U finden. => Wir schreiben $\begin{eqnarray} (a,-a,b)^T \end{eqnarray}$ mal anders. "Buchstaben raus!" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a\\-a\\b \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auch so sieht man, dass sich alle Vektoren in U als LK dieser 2 l.u. Vektoren darstellen lassen. Verstehst du das?
28.04.2010, 00:01	peter_schmittz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt hat's geschnackelt. Ich habe bei der Aufgabenstellung an was ganz was anderes gedacht, wie man wohl bemerkt hat an meinem 3. Post. Die Sache mit den Variablen vorziehen macht das Ganze nun einleuchtend. Vielen, vielen Dank, dass du dir auch so spät noch die Mühe gemacht hast, meine Frage zu beantworten Großes Danke!
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28.04.2010, 00:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel Erfolg in der Arbeit.

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