Glieder einer Folge

27.04.2010, 23:10

analysisisthedevil

Glieder einer Folge

Hallo ich benötige Hilfe zu folgener aufgabe:

für die Glieder einer Folge ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ) gelte

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{a_{n} + \beta }{\gamma \cdot n^{2} } \end{eqnarray*}$

man bestimme die Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$

so,das gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2} = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{3} = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

die angegebene lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3\cdot n- 1}{2\cdot n^{2} } \end{eqnarray*}$

jetz habe ich versucht den lösungsweg zu finden und habe das gefühl ganz schön auf dem holzweg zu sein:

also zunächst habe ich die in der aufgabe gebenen werte eingesetz und 3 gleichungen erhalten

n=1 dann $\begin{eqnarray*} 1= \frac{\alpha + \beta }{\gamma } \end{eqnarray*}$

n=2 dann $\begin{eqnarray*} \frac{5}{8} = \frac{2\cdot \alpha + \beta }{4\cdot \gamma } \end{eqnarray*}$

n=3 dann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{9} = \frac{3\cdot \alpha + \beta }{9\cdot \gamma } \end{eqnarray*}$

ich habe nun versucht die 3 unbekannten zu bestimmen

zunächst habe ich die brüche eliminiert und alle unbekannten auf eine seite gebracht sodass

ich folgende 3 gleichungen bekommen habe

1: $\begin{eqnarray*} 0= \alpha + \beta - \gamma \end{eqnarray*}$

2: $\begin{eqnarray*} 0= 2\cdot \alpha + \beta \end{eqnarray*}$

3: $\begin{eqnarray*} 0= 3\cdot \alpha + \beta - 4\cdot \gamma \end{eqnarray*}$

nachdem ich eins und 2 addiert habe bleiben die gleichungen

$\begin{eqnarray*} 0= - \alpha + \frac{3}{2} \cdot \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= 2 \alpha - 3\gamma \end{eqnarray*}$

wenn ich den nächsten schritt mache ,um das alpha zu eliminieren erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 0= - \alpha + \frac{3}{2} \cdot \gamma \end{eqnarray*}$

und 0=0 das kann eigentlich nicht sein , da ich so natürlich die weiteren unbekannten nicht bestimmen kann.

kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?

27.04.2010, 23:38

Airblader

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RE: Glieder einer Folge

Zitat:

Original von analysisisthedevil
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{a_{n} + \beta }{\gamma \cdot n^{2} } \end{eqnarray*}$

Das kann gleich in mehrerlei Hinsicht nur falsch sein:

- Wie kann a_n von a_n abhängen? (Naja, es wäre denkbar, aber steht hier sicherlich dennoch falsch da - darauf wette ich)
- Wieso taucht da kein Alpha auf?

air

27.04.2010, 23:43

analysisisthedevil

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RE: Glieder einer Folge
oh sorry,das war mein fehler es solll natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\alpha \cdot n+ \beta }{\gamma \cdot n^{2} } \end{eqnarray*}$

also alpha statt a.
hoffe jetz stimmts

28.04.2010, 00:00

Kühlkiste

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RE: Glieder einer Folge

Zitat:

Original von analysisisthedevil
kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?

Du hast nichts falsch gemacht.

Das LGS ist unterbestimmt und hat keine eindeutige Lösung.

$\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{6n-2}{4n^2} \end{eqnarray*}$ tut's z.B. auch.

Du kannst z.B. $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ fest vorgeben und dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bestimmen.

28.04.2010, 00:03

analysisisthedevil

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RE: Glieder einer Folge
wow,dann verfüge ich ja doch über einen hauch von inteligenz.

also das heißt ich kann $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ frei bestimmen?

mensch,ich meine mich sogar an so etwas aus der 12. klasse zu erinnern

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