Vektorräume, Erzeugendensysteme |
| 28.04.2010, 13:52 | Kathi26 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektorräume, Erzeugendensysteme Beweisen oder wiederlegen Sie: Jedes Erzeugendensystem des \mathbb R -Vektorraums R^{\mathbb R} besitzt unendlich viele Elemente. Meine Ideen: Sorry, hab leider keinen Plan, wie man daran geht. |
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| 28.04.2010, 14:04 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst Du wirklich den ? |
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| 28.04.2010, 19:32 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn Kathi26 zurzeit Lineare Algebra I an der RWTH Aachen hört, sollte sie den meinen, ja 
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| 28.04.2010, 19:55 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe dasselbe Übungsblatt und denke, dass die Aussage stimmt. Ich erkläre mir das so: Im R^2 ist ein Erzeugendensystem (1,0) und (0,1). Im R^3 ist ein Erzeugendensystem (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Im R^4 ist ein Erzeugendensystem (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). Das kann man sich immer so weiterdenken und kommt dann schließlich drauf, dass ein R^n im Erzeugendensystem n Elemente haben müsste. Und weil für R^R halt n -> unendlich, dürfte das dann bedeuten, dass in dem Fall unendlich viele Elemente im Erzeugendensystem sind. Kann das jemand mit mehr Ahnung als ich vielleicht kommentieren? ^^ |
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| 28.04.2010, 20:00 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
, du hast also den Vektorraum der Abbildungen von IR nach IR und nicht irgendetwas wie , du musst dir also eine andere Argumentation suchen. |
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| 28.04.2010, 20:18 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, das macht die Sache natürlich sehr viel komplizierter :/ Also, jeder Vektor ist also eine Abbildung von IR nach IR. Ja dann sollte doch ein Erzeugendensystem erst Recht unendlich viele Elemente haben müssen! Mir fehlt da jetzt vielleicht irgendwie eine mathematisch formal korrekte Begründung, aber Erzeugendensysteme zeichnen sich doch dadurch aus, dass ich durch skalare Multiplikation mit Elementen aus dem Körper jeden Vektor des Vektorraums erhalten kann. Da aber Abbildungen nicht wirklich linear voneinander abhängig sein können (oder?) und es ja im Prinzip unendlich viele beliebige Abbildungsvorschriften geben kann, muss eigentlich auch für jede noch so exotische Abbildungsvorschrift ein separates "Erzeugerelement" existieren. Also würde ich wieder zu dem Schluss kommen, dass es unendlich viele Elemente im Erzeugendensystem geben muss...? |
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| 29.04.2010, 06:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist so nicht richtig. Ein Erzeugendensystem zeichnet dadurch aus das sich jedes Element des Vektorraumes durch Linearkombination der Vektoren des Erzeugendensystems darstellen lässt. Schau Dir mal genau an was Linearkombination für unendlichdimensionale Vektorräume bedeutet. |
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