Verteilung und Maß

28.04.2010, 16:27	Sandy20ms	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung und Maß Hallo zusammen, ich häng gerade an meinem WT-Zettel. Da ich gerade noch ne Klausur geschrieben habe, hänge ich momentan etwas im Vorlesungsstoff zurück und muss dennoch Freitag morgen die Lösungen abgeben, weswegen euch um Hilfe bitten möchte! Zunächst einmal die Aufgabenstellung: Es sei $\begin{eqnarray} G : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ de niert durch: $\begin{eqnarray} G(x)=\begin{pmatrix} 0, x\leq 0 \\ \frac{1}{k}, k-1<\frac{1}{x}\leq k \\ 1, sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dieses soll eine geschweifte Klammer sein, aber ich kenn mich leider mit Latex noch nicht so aus! bei dem $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ gibt es noch die Einschränkung: falls ein $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ex. mit a) Überprüfen Sie, dass G eine Verteilungsfunktion ist und zeichnen Sie diese. b) Bestimmen Sie das zugehörige Maß $\begin{eqnarray} \mu_G \end{eqnarray}$ durch Angabe von $\begin{eqnarray} \mu_G(\left\{x\right\}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . c) Bestimmen Sie die Pseudoinverse $\begin{eqnarray} G^- : ]0; 1[ \to \mathbb R \end{eqnarray}$ von G, de niert durch $\begin{eqnarray} G^-(u) := inf \left\{z \in \mathbb R \| G(Z) \geq u\right\} \end{eqnarray}$ Ich denke erstmal, dass ein solches k immer existiert. $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ erfüllt zumindest die Voraussetzungen, dann steht dort $\begin{eqnarray} 0<1/x\leq1 \end{eqnarray}$ . D.h. die Verteilungsfunktion müsste so aussehen: Edit (mY+): Keine Links zu externen Uploadseiten! Bild hier an den Beitrag anhängen! [attach]14441[/attach] Ist also 0 für x<0, 1 für x>1 und dazwischen eine Treppenfunktion. Nun soll ich zeigen, dass es sich um eine Verteilungsfunktion handelt: 1. G ist monoton steigend 2. G ist rechtseitig stetig 3. \lim_{x \to - \infty } G(x)=0, \lim_{x \to \infty } G(x)=1 sind alle erfüllt. Also handelt es sich um eine Verteilungsfunktion. Stimmt das soweit? bei der b und c hab ich leider noch keine Idee wie ich rangehen soll. Maßtheorie ist für mich noch recht neu und wie gesagt, hab ich bisher leider nicht soviel mitbekommen. Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben? Danke! Sandy P.S: Bitte entschudigt, wenn das keine optimale Latexschreibweise ist, aber ich hab mich bemüht das möglichst gut hinzubekommen.
29.04.2010, 13:06	Sandy20ms	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung. Das mit dem Bild wusste ich nicht! Und zu meiner Aufgabe, kann mir da keiner helfen?
29.04.2010, 15:07	Sandy20ms	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss mich korrigieren. meiner Meinung nach gibt es nur ein k, für welches obige Gleichung gilt, nämlich $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ , dann folgt als Bedingung $\begin{eqnarray} G(x)=1 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} 0<1/x\leq1 \end{eqnarray}$ , was immer erfüllt ist (die negativen Werte gehen ja alle auf 0. Also wird $\begin{eqnarray} G(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ und sonst ist $\begin{eqnarray} G(x)=1 \end{eqnarray}$ b) Das Maß müsste ich dann doch als $\begin{eqnarray} \mu_G ( \left\{ x \right\} )=\begin{cases} 0, & x\leq0\\ 1, & x>0 \end{cases} \end{eqnarray}$ haben oder? nur zur c hab ich weiter keine Idee
30.04.2010, 17:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Skizze zur Verteilungsfunktion (VF) ist nicht sonderlich gut: Dass sich für $\begin{eqnarray} x\searrow 0 \end{eqnarray}$ die Sprungstellen häufen (d.h. also unendliche viele da sind), ist nicht im Ansatz erkennbar. Tatsächlich hilft es schon mal, die VF in die geläufigere Form $\begin{eqnarray} G(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für $x\leq 0$} \\ \frac{1}{k} & \;\mbox{für $\frac{1}{k} \leq x < \frac{1}{k-1}$ mit $k=2,3,\ldots$} \\ 1 & \;\mbox{für $x\geq 1$} \end{cases} \end{eqnarray}$ zu bringen. Dann erkennt man, dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ an den Stellen $\begin{eqnarray} x_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Sprünge der Höhe $\begin{eqnarray} F(x_k)-F(x_k-0) = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} = \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ hat und ansonsten konstant verläuft. $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ beschreibt damit eine diskrete Zufallsgröße mit den genannten abzählbar vielen Werten und deren Wahrscheinlichkeiten.

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