3 Aufgäbchen zur Konvergenz von Reihen

28.04.2010, 17:07

Physinetz

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3 Aufgäbchen zur Konvergenz von Reihen

Hallo, ich grübel gerade über die Konvergenz folgender Reihen:

1.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n²+n+1} \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^3}{4^n} \end{eqnarray*}$

zu 1.
Dürfte da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist keine Konvergenz besitzen?

zu 2.

Sieht ja stark nach binomischer Formel aus... (wenn man es entsprechend quadratisch ergänzt). Es ist zumindest eine Nullfolge vorhanden, aber das ist nicht ausreichend...
Welches Kriterium zum überprüfen könnte ich hier anwenden? Quotientenkriterium?

zu 3. ist ebenfalls eine Nullfolge, aber auch hier weiß ich nicht weiter, wie man das dann weiter überprüft?

Für Tipps wäre ich dankbar, beste Grüße Physinetz

geiles Wetter und ich darf mathe machen, was gibts besseres ;-)

28.04.2010, 17:22

tigerbine

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RE: 3 Aufgäbchen zur Konvergenz von Reihen
1. http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Ma...ergenzkriterien Summanden keine Nullfolge

2. Gibt es da nicht eine konvergente Majorante?

3. Hast du schon ein Kriterium ausprobiert?

02.05.2010, 12:02

Physinetz

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RE: 3 Aufgäbchen zur Konvergenz von Reihen
also zur 2.)

konvergente Majorante wäre
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Also wäre meine Reihe konvergent?

zu 3)

habe mal das Quotientenkriterium ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)³*4^n}{n³*4^{n+1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{n³*(1+3/n+3/n²+1/n³)}{4*n³}= 1/4 \end{eqnarray*}$

Weiß aber nicht ob meine Rechnung stimmt? Müsste ja dann konvergieren?

Habe noch eine vierte Aufgabe:

4)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{-9k-10}{10k})^k \end{eqnarray*}$

Sieht ja sehr nach geometrischer Reihe aus, aber weiter weiß ich nicht...Welches wäre denn hier ein passendes Kriterium zum Überprüfen? Irgendwelche Tipps?

02.05.2010, 12:10

Evelyn89

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist nicht konvergent.

Die harmonische Reihe wird gern als divergente Minorante benutzt.
Aber die alternierende harmonische Reihe konvergiert.
Man kann aber eine andere Majorante finden.

02.05.2010, 12:29

Physinetz

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und wie finde ich die? mir fällt spontan keine ein, vielleicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+1)²} \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2010, 18:33

Physinetz

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hat jemand nen Tipp?

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02.05.2010, 18:36

tigerbine

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Man sieht es doch.... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n²+n+1} =1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n²+n+1} \end{eqnarray*}$

Wird so ein Bruch nun größer oder kleiner, wenn wir [hier n=0,1,2---] etwas im Nenner weglassen?

02.05.2010, 18:47

Physinetz

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Zitat:

Man sieht es doch.... verwirrt

Ja aber was muss ich daraus folgern, bin bisschen aufm Schlauch...?

02.05.2010, 18:48

tigerbine

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Du hast meine zweite Frage nicht beantwortet.

02.05.2010, 18:54

Physinetz

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Ja die hatte ich auch nicht ganz verstanden ^^ Prinzipiell wird ja ein Bruch größer wenn der Nenner kleiner wird, man also etwas "weglässt" ..

02.05.2010, 18:54

tigerbine

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Also, dann lass mal was weg.

02.05.2010, 21:26

Physinetz

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Weiß nicht wirklich was du meinst ^^

Wie siehts denn bei den anderen aus, welche Kriterien ich da verwenden sollte?
Komme da iwie nicht weiter, da gibts doch sicherlich Tricks um die zu vereinfachen?

02.05.2010, 21:40

tigerbine

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Du wirst doch die einfache (konvergente!) Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

kennen... verwirrt

verwirrt

02.05.2010, 21:54

Physinetz

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Hmm ne kannte ich nicht, nun aber doch ;-) Und wie kann ich das dann beim Majorantenkriterium "beweisen". Die Reihe ist ja praktisch konvergent und es gilt auch:
1/n² > 1/n²+n+1 und somit ist eben $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 1/n² \end{eqnarray*}$ , die Majorante? Dürfte ja praktisch schon reichen...

Hast du mir auch einen Tipp für die 3. und 4 ?
Die 3. habe ich ja mal probiert, stimmt diese so?Gibts bei der 4. auch einen Trick?

02.05.2010, 22:09

tigerbine

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Dein Summationsindex ist falsch. Nur Chuck Norris teilt durch 0. Deswegen hatte ich das aufgesplittet.

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterium

03.05.2010, 12:45

Physinetz

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Aaah ok stimmt, der gute alte Chuck^^

also zur 3. :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)³*4^n}{n³*4^{n+1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{n³*(1+3/n+3/n²+1/n³)}{4*n³}= 1/4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

zur 4. Aufgabe:

Ich würde das Wurzelkriterium benutzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{(| \frac{-9k-10}{10k} | )^k} = \lim_{k \to \infty } | \frac{-9k-10 }{10k} |= \frac{9}{10} <0 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Reihe konvergent, richtig?

Gruß Physinetz

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