sind folgende Zuordnungsvorschriften Funktionen?

28.04.2010, 19:57

analysisisthedevil

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sind folgende Zuordnungsvorschriften Funktionen?

hallo,ich habe ein problem und das hat diesmal nich einmal mit der aufgabe an sich zu tun sondern damit, dass ich die komplette schreibweise noch nie gesehen habe und nicht weis was ich mir darunter vorstellen soll.

hier die aufgabe:

Man entscheide ob die folgenden Zuordnungsvorschriften Funktionen sind

( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ menge der reellen Zahlen , $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ menge der natürlichen Zahlen )

a) $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \Rightarrow y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \Bigg( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2x \enspace fuer\enspace x=x^{2} \\ 2\enspace fuer\enspace x \neq 0 \\ \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \Rightarrow y\in \mathbb R = \Bigg( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2x\enspace fuer x\geq 0\\ - x\enspace fuer\enspace x<1 \\ \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \Rightarrow a_{n} = \Bigg( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1\enspace falls\enspace n \enspace gerade \\ - 1\enspace falls \enspace n \enspace ungerade\\ \end{eqnarray*}$

wie gesagt,mein problem fängt schon damit an,das mir die schreibweise gar nichts sagt und ich nich weis wie ich zu deuten habe was da steht,geschweige denn wie ich von den gebenen dingen eine funktion erkennen soll.
vielen dank für eure hilfe

28.04.2010, 20:14

analysisisthedevil

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RE: sind folgende Zuordnungsvorschriften funktionen?
also ich hab poste mal die antworten villeicht bringt das was, a) ja , b) nein c) ja

habe wirklich keine ahnung woran ich das erkennen soll hier

28.04.2010, 20:27

BanachraumK_5

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Also schreib dir das mal so auf;

a) Wir haben eine (vermeintliche) Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow f(x) = y \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 2x, & \text{für}\ x=x^2\\ 2, & \text{für}\ x \neq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ , so und nun wählst du dir mal ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und lässt es auf das f los, wirf mal einige Werte aus dem Definitionsbereich rein.

Beachte die Definition einer Funktion:
Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu.

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29

Die Schreibweise von oben kannst du auch für die Fälle b) und c) benutzen.

Was ist $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ?

28.04.2010, 20:36

analysisisthedevil

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aber ich weis doch eigentlich gar nicht wie die funktion aussieht.
also ich versuch es mal mit meinen worten zu sagen am beispiel a) also y= 2x immer wenn x=x^2
stimmt das so??

d.h. $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \end{eqnarray*}$ daraus folgt , $\begin{eqnarray*} f(1) = 2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} 1= 1^{2} \end{eqnarray*}$

also x=x^2 immer wenn x=0 oder x=1 ist.

aber so wirklich schlauer bin ich nicht geworden

und y=2 immer wenn x=1

das heißt für x=1 stimmt die zuordnungsvorschrift???
sorry,aber ich stell mich echt saublöd an

28.04.2010, 21:16

analysisisthedevil

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also ich muss echt sagen,ich maximal ansatzsweise verstanden was da passiert.
ich bräuchte echt noch ein paar tipps

zu c) also heißt das ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sagen wir mal $\begin{eqnarray*} a_{n} = 2n \end{eqnarray*}$

hat immer für ein bestimmtes n genau 1 genau dann wenn ,es für das selbe n multipliziert mit (-1) genau -1 wird?

z.b $\begin{eqnarray*} 1 = 2n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2n= - 1 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n= \frac{1}{2} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

ich hab null peilung verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

28.04.2010, 21:18

Iorek

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Ich versteh ehrlich gesagt nicht, was du da machst und was du zu folgern versuchst...

Mach dir erstmal klar was eine Abbildung ist, wie ist diese definiert, was gehört alles zu einer Abbildung dazu?

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28.04.2010, 21:27

analysisisthedevil

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naja ,ich versuche eben dahinterzukommen wie ich von den gegebenen dingen sprich den zuordnungsvorschriften auf die gegebenen antworten komme,sprich a) ist eine funktion,b) ist keine.

also nach meinem verständnis ist eine funktion f(x) bestimmt durch die x und die y werte.
jeder x wert ist einem bestimmten y wert zuzuordnen,also hoffe ich zumindest..... Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

kurz gesagt,ich versuche zu verstehen wieso a),eine funktion is, b) keine und c) wieder eine ist.
ich habe vor allem verstehe ich nich wirklich wie du beiden zeilen,die jeweils angegeben sind zueinander stehen und ich habe auch keine ahnung wie ich dahinterkommen soll

28.04.2010, 21:31

Iorek

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Das ist aber sehr schludrig ausgedrückt, da fehlen einige Sachen...

Funktion

Vergleich mal deine Definition einer Funktion mit der von mir angegebenen, was fehlt bei dir?

28.04.2010, 21:39

analysisisthedevil

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ok,also eine funktion bzw. eine abbildung ist eine beziehung zweier mengen ,hierbei wird jedem element der menge 1 also sprich jedem $\begin{eqnarray*} x\in M1 \end{eqnarray*}$ genau ein element der menge 2 zugeordnet also jedem $\begin{eqnarray*} y\in M2 \end{eqnarray*}$
das heißt also wenn ich eine funktion f(x) gegeben habe erhalte ich für jeden wert den ich für x einsetze genau ein y ,ist eine lösung nicht möglich so handelt es sich auch nicht um eine funktion.
also das wäre jetz mal meine logik zumindest.

28.04.2010, 21:43

Iorek

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So, was ist jetzt jetzt dein M1, was ist dein M2? Findest du irgendwelche x € M1 wo es Probleme mit der Eindeutigkeit geben könnte?

28.04.2010, 21:53

analysisisthedevil

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also bei b) ist $\begin{eqnarray*} x\in M1= x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in M2= y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

für jedes $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= 2x \end{eqnarray*}$
was ja laut meinem primitiven urteil stimmt,bzw eigentlich gar nich falsch sein kann.
für die selbe funktion soll gelten das für jedes $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$

das kann aber nicht sein, da nur gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$ wenn x=-1
also würde es sich um eine funktion handeln,wenn die vorschrift lauten würde $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$ für x=-1

ok,ich hab das gefühl ich bin noch 20 mal mehr auf dem holzweg als davor

28.04.2010, 22:01

Iorek

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

für jedes $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= 2x \end{eqnarray*}$
was ja laut meinem primitiven urteil stimmt,bzw eigentlich gar nich falsch sein kann.

Was meinst du mit "kann gar nicht falsch sein"?

Zitat:

Original von analysisisthedevil
für die selbe funktion soll gelten das für jedes $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$
das kann aber nicht sein, da nur gilt $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$ wenn x=-1
also würde es sich um eine funktion handeln,wenn die vorschrift lauten würde $\begin{eqnarray*} f(x)= - x \end{eqnarray*}$ für x=-1

Was meinst du mit diesem Satz?

Bevor es Missverständnisse gibt: Ist die Funktion wirklich so definiert:

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow \mathbb R, x\mapsto\begin{cases} 2x & x\geq 0 \\ -x & x<1\end{cases} \end{eqnarray*}$

28.04.2010, 22:01

analysisisthedevil

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oh halt,ich glaub ich hab es zumindest für die aufgabe b)

also wenn für jeden wert x<1 gilt y=-x
dann müsste gelten für x=0 dass y= -0 ist.
das kann aber nicht sein folglich ist die funktionsvorschrift auch nicht richtig

28.04.2010, 22:03

Iorek

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
oh halt,ich glaub ich hab es zumindest für die aufgabe b)

also wenn für jeden wert x<1 gilt y=-x
dann müsste gelten für x=0 dass y= -0 ist.
das kann aber nicht sein folglich ist die funktionsvorschrift auch nicht richtig

Warum sollte f(0)=-0 denn nicht gehen? x=0 wäre bei dieser Funktion das geringste Problem, da gibts andere Sachen die dir Probleme machen sollten.

28.04.2010, 22:13

analysisisthedevil

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also mit dem satz,der zugebenermaßen nich grade toll formuliert ist,meine ich dass ich ja gar nicht wissen ob die zuordnungsvorschrift stimmt oder nicht.

und ja,die funktion ist so definiert

ok,also ich probier es nochmal:

f(x)=2x für alle x die größer oder gleichgroß wie null sind.
f(x)=-x für alle x die kleiner als 1 sind

dieser vorschrift zufolge müßte für x=0 sowohl f(x)=2x als auch f(x)=-x gelten

da aber eine funktion eine beziehung zweier mengen ist und jedes x aus der menge M1 genau ein y aus der menge M2 bestimmt,findet sich hier der wiederspruch.

antwort:die zuordnungsvorschift ist keine funktion da für x=0 zwei verschiedene y werte zugeordnet werden.

28.04.2010, 22:14

Iorek

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Dann rechne dochmal f(0) mit beiden aus, was kommt dann raus?

Du gehst in die richtige Richtung, aber nochmal: x=0 ist das kleinste Problem was du hier hast...

28.04.2010, 22:28

analysisisthedevil

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kommt beide male 0 raus,also ist meine antwort wiederlegt.....

28.04.2010, 22:29

Iorek

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Ja, jetzt nimm guck dir die Funktion nochmal genau an, und sag mir wo trotzdem Probleme auftreten könnten.

28.04.2010, 22:37

analysisisthedevil

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wenn für alle x gößer oder gleich null gilt f(x)=2x
dann muss für alle x kleiner 1 gelten f(x)=-2x

allerdings habe ich das geraten,da ich die vermutung das sich die beiden vorschriften, so wie sie angegeben sind in der aufgabe,gegenseitig ausschließen,da es sich bei f(x)=-x und f(x)=2x um zwei verschiedene geraden handelt.

28.04.2010, 22:46

Iorek

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
wenn für alle x gößer oder gleich null gilt f(x)=2x
dann muss für alle x kleiner 1 gelten f(x)=-2x

Wie kommst du auf diese Aussage? Da passt absolut gar nichts zusammen!

[/quote]Original von analysisisthedevil
allerdings habe ich das geraten,da ich die vermutung das sich die beiden vorschriften, so wie sie angegeben sind in der aufgabe,gegenseitig ausschließen,da es sich bei f(x)=-x und f(x)=2x um zwei verschiedene geraden handelt.[/quote]

Ja, sie sind zum Teil widersprüchlich, aber nicht einfach weil es sich um zwei verschiedene Geraden handelt, $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} \sin (x) & x<-1 \\ x & -1\leq x<1 \\ e^{\cos (x)} & 1\leq x\end{cases} \end{eqnarray*}$ wäre eine durchaus legitime Funktion.

Wo ist also bei dir der Widerspruch?

28.04.2010, 22:56

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von analysisisthedevil
wenn für alle x gößer oder gleich null gilt f(x)=2x
dann muss für alle x kleiner 1 gelten f(x)=-2x

Wie kommst du auf diese Aussage? Da passt absolut gar nichts zusammen!

Original von analysisisthedevil
allerdings habe ich das geraten,da ich die vermutung das sich die beiden vorschriften, so wie sie angegeben sind in der aufgabe,gegenseitig ausschließen,da es sich bei f(x)=-x und f(x)=2x um zwei verschiedene geraden handelt.[/quote]

Ja, sie sind zum Teil widersprüchlich, aber nicht einfach weil es sich um zwei verschiedene Geraden handelt, $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} \sin (x) & x<-1 \\ x & -1\leq x<1 \\ e^{\cos (x)} & 1\leq x\end{cases} \end{eqnarray*}$ wäre eine durchaus legitime Funktion.

Wo ist also bei dir der Widerspruch?[/quote]

ja also,ich schätze dass ich mir die aussage im wahrsten sinne des wortes aus den fingern gesogen habe,weil ich echt nich mehr weiter weis grade,bzw genau so schlau bin wie am anfang.

28.04.2010, 23:01

Iorek

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Nehmen wir uns doch mal ein paar x und schmeißen die in unsere Funktion rein, fangen wir an mit $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\not\geq 0 \end{eqnarray*}$ , also erhalten wir $\begin{eqnarray*} f(-1)=-(-1)=1 \end{eqnarray*}$ . Nehmen wir jetzt mal $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x\not<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ , also haben wir $\begin{eqnarray*} f(1)=2\cdot 1=2 \end{eqnarray*}$ , siehst du jetzt mögliche x-Werte, die für die Eindeutigkeit der Funktion problematisch werden könnten?

28.04.2010, 23:21

analysisisthedevil

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also,da ich mit meinem latein am ende bin.hab ich dazu nur eine idee,von der ich allerdings jetz schon fast überzeugt bin das sie nicht stimmt.

also eine funktion ordnet jedem x aus M1 genau ein y aus M2 zu.

wenn also f(x)=-x ist für alle x<1 und f(x)=2x für alle x größer oder gleich null,

würde man beispielsweise für jedes gerade x<1 das man in f(x)=-x einsetzt

einen y wert bekommen, den man ebenfalls bekommt wenn man das selbe x durch 2 teilt und mit (-1) multipliziert und dann in f(x)=2x einsetzt

also z.b f(-4)=4 wenn man -4 in f(x)=-x einsetzt

und f(2)=4 wenn man 2 in f(x)=2x einsetzt.

also würde es probleme wenn man gerade zahlen einsetzt,da es für jeden x wert genau einen y wert gibt.

ich gehe mal davon aus,das it völliger quark,stimmts?

28.04.2010, 23:26

analysisisthedevil

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ok,meine zu letzt gepostete idee is mit 100 prozentiger sicherheit schwachsinn weil genau das, bei nahezu jeder quadratischen funktion der fall

28.04.2010, 23:27

Iorek

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Ja, das ist völliger Quark...

Du hast nur eine einzige (vermeintliche) Funktion vorliegen, diese ist halt abschnittsweise definiert. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} -x & x<0 \\ x & x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ , das wäre einfach die Betragsfunktion. Du wählst dir eine reelle Zahl x aus und kannst eindeutig sagen, ob diese kleiner oder größer/gleich null ist, also kannst du auch eindeutig sagen, ob du $\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ bilden musst. Nehmen wir $\begin{eqnarray*} x=-1<0 \end{eqnarray*}$ , also ist damit $\begin{eqnarray*} f(-1)=-(-1)=1 \end{eqnarray*}$ . Nehmen wir stattdessen jetzt $\begin{eqnarray*} x=2\geq 0 \end{eqnarray*}$ , so bilden wir $\begin{eqnarray*} f(2)=2 \end{eqnarray*}$

Bei deiner Funktion ist das jetzt aber nicht der Fall. Solange du nur Werte wählst, die kleiner als null oder größer als eins sind ist alles noch in Ordnung, was ist aber wenn du dir einen Wert wählst, der zwischen null und eins liegt?

28.04.2010, 23:37

analysisisthedevil

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wenn x zwischen 0 und 1 liegt weis ich nicht weis ob ich f(x)=-x oder f(x)=2x bilden muss da der bereich zwischen 0 und 1 nicht definiert ist

28.04.2010, 23:42

Iorek

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Ja, wenn $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ist, ist die "Funktion" nicht eindeutig definiert, es wäre z.B. $\begin{eqnarray*} f(0{,5})=-0{,}5=1 \end{eqnarray*}$ , was offensichtlich ein Widerspruch ist.

28.04.2010, 23:51

analysisisthedevil

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ohje,ok....also da wär ich ehrlich gesagt alleine in hundert jahren nicht drauf gekommen.
jetz muss ich nur noch a) und c) raffen...

28.04.2010, 23:53

Iorek

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Dann mach mal mit der c) weiter, die ist relativ einfach und schnell zu machen.

29.04.2010, 00:04

analysisisthedevil

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naja ok also ,ist eine funktion weil ich quasi für alle natürlichen zahlen weis welcher fall vorliegt.
so oder so ähnlich,sollte wohl die antwort für c) heißen

bei a) ist es eine funktion da x=x^2 für x=0 gilt und ich somit ebenfalls keinen zahlenbereich habe bei dem ein x wert zwei y werte haben könnte...

wenn das so stimmt kann ich ,mit nem einigermaßen guten gewissen ins bett fallen Hammer

Hammer

29.04.2010, 00:09

Iorek

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Sicher dass x=x² <=> x=0 ist?

Edit: Ich verabschiede mich hier an der Stelle, wer anders ist eingeladen weiterzumachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.04.2010, 00:13

analysisisthedevil

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nunja x^2=x*x wenn man für x gleich 0 setzt also x=0 dann ibekommt man für x=x^2

0=0^2 da 0*0=0 ist,

29.04.2010, 00:15

analysisisthedevil

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x=x^2 gilt natürlich auch für x=1

29.04.2010, 00:15

Pavel

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Zitat:

Original von analysisisthedevil
nunja x^2=x*x wenn man für x gleich 0 setzt also x=0 dann ibekommt man für x=x^2

0=0^2 da 0*0=0 ist,

Dass 0 eine Lösung der Gleichung ist, bezweifelt hier auch niemand.
Die Frage lautet: Ist 0 hier die einzige Lösung?

edit: Jop, ist richtig. Wie gehts also weiter?

29.04.2010, 00:18

analysisisthedevil

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wow,dann habe ich ja quasi tatsächlich die aufgabe gelöst.naja leider nich alleine aber was solls

29.04.2010, 15:10

BanachraumK_5

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Wähle in Zukunft aber diese Schreibweise

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} \sin (x) & x<-1 \\ x & -1\leq x<1 \\ e^{\cos (x)} & 1\leq x\end{cases} \end{eqnarray*}$

und schreibe dir immer genau dazu von wo nach wo die Abbildungen gehen.

Unter a) hast du inzwischen auch mal geguckt was $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ist oder?

Zur Übung könntest du jetzt mal gucken welche deiner Funktionen (falls es eine Funktion ist) stetig sind und welche nicht. ;-)

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