Beweis über binomischen Lehrsatz

28.04.2010, 23:08

marvster

Beweis über binomischen Lehrsatz

Meine Frage:
Zeigen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes:
$\begin{eqnarray*} \left(1+\sqrt{3}\right)^{n} + \left(1-\sqrt{3}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl.

Meine Ideen:
Ich bin leider schon 6 Jahre aus der Mathematik raus und fange jetzt erst in der Uni wieder an, alles von vorne zu lernen. Die vollständige Induktion hab ich grad noch so verstanden, beim binomischen Lehrsatz scheitere ich aber völlig. Ich bräuchte unbedingt eine Starthilfe, da mir auch der Wikieintrag zum Binomischen Lehrsatz nicht weiterhilft...

28.04.2010, 23:11

IfindU

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Werde nicht mehr lange wach sein, aber schreib doch $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3})^n \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes um.

29.04.2010, 11:23

marvster

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$\begin{eqnarray*} \left(1+\sqrt{3}\right)^{n} +\left(1-\sqrt{3}\right)^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} (1^{n-k}+(\sqrt{3})^{k}) + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} (1^{n-k}-(\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}(1^{n-k}+(\sqrt{3})^{k}) + (1^{n-k}-(\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} (2\cdot 1^{n-k}) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1^{x} = 1 | x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

So richtig?

29.04.2010, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von marvster
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} (1^{n-k}+(\sqrt{3})^{k}) + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} (1^{n-k}-(\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$

Schau dir nochmal den binomischen Satz an.

29.04.2010, 11:47

marvster

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Neuer Versuch, da hab ich wohl was durcheinander gebracht...:

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}(1^{n-k}\cdot(\sqrt{3})^{k}) + (1^{n-k}\cdot(-\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1^{x} = 1 | x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}((\sqrt{3})^{k}) +(-\sqrt{3})^{k})<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}\sqrt{3}^{k} -\sqrt{3}^{k} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix} 0<br /> \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Jetzt aber, oder?

Konnte schon gar nicht schlafen aus lauter Frust :/

29.04.2010, 12:00

klarsoweit

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Daß das nicht Null ist, sollte dir spätestens dann auffallen, wenn du in dem ursprünglichen Term mal n=1 oder n=2 ausprobierst. Augenzwinkern

Hier rechnest du falsch. Im allgemeinen ist: $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{3})^k \neq - \sqrt{3}^k \end{eqnarray*}$

29.04.2010, 12:18

marvster

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Dann wird's Zeit aufzugeben.
Wenn mein Tutor es nicht schafft, dass Nahe zu bringen und ich über das Forum selbst auch nicht drauf komme - liegt's mir wohl einfach nicht unglücklich

29.04.2010, 12:31

klarsoweit

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So schnell gibst du auf? Wie ich schon sagte, geht es um $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{3})^k \end{eqnarray*}$ . Probiere doch mal verschiedene k durch. Was kommt raus, was fällt dir auf?

EDIT: ansonsten helfen auch Potenzregeln: $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{3})^k = (-1 \cdot \sqrt{3})^k = (-1)^k \cdot (\sqrt{3})^k \end{eqnarray*}$

29.04.2010, 12:56

marvster

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"So schnell aufgeben" ist gut. Das Problem mit der Induktivität und binomischen Lehrformel verfolgt mich schon seit 2 Wochen... ich weiss selbst nicht wieso das nicht in meinen Kopf will - LinA ist im Gegensatz zu Analysis einleuchtend.

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}(1^{n-k}\cdot(\sqrt{3})^{k}) + (1^{n-k}\cdot(-\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1^{x} = 1 | x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}((\sqrt{3})^{k}) +(-\sqrt{3})^{k})<br /> \end{eqnarray*}$

Für gerade k erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{3}^k \end{eqnarray*}$ ; für ungerade k, erhalte ich 0. Dabei ist n irrelevant und beliebig aus den reelen Zahlen wählbar.

29.04.2010, 13:06

tmo

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Bevor man hier aufgibt, sollte man auch in Betracht ziehen mit $\begin{eqnarray*} a_n = \left(1+\sqrt{3}\right)^{n} + \left(1-\sqrt{3}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=2(a_{n+1}+a_n) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt zusammen mit $\begin{eqnarray*} a_0 =a_1=2 \end{eqnarray*}$ auch die Behauptung.

"Leider" kommt dieser Beweis ohne binomischen Lehrsatz aus unglücklich

Edit: Wie ich sehe, aber gar nicht mehr nötig, denn

Zitat:

Original von marvster
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}(1^{n-k}\cdot(\sqrt{3})^{k}) + (1^{n-k}\cdot(-\sqrt{3})^{k}) \end{eqnarray*}$

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 1^{x} = 1 | x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\ k\\\end{pmatrix}((\sqrt{3})^{k}) +(-\sqrt{3})^{k})<br /> \end{eqnarray*}$

Für gerade k erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{3}^k \end{eqnarray*}$ ; für ungerade k, erhalte ich 0. Dabei ist n irrelevant und beliebig aus den reelen Zahlen wählbar.

ist richtig.
Nur der letzte Satz enthält einen Schönheitsfelher. n ist nicht aus den reellen Zahlen wählbar, sondern aus den natürlichen Zahlen.

29.04.2010, 13:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von marvster
Für gerade k erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{3}^k \end{eqnarray*}$

Und was ist dies? Irrational oder eine natürliche Zahl?

Zitat:

Original von marvster
Dabei ist n irrelevant und beliebig aus den reelen Zahlen wählbar.

n sollte wohl eine natürliche Zahl sein. Das kam mir schon in deinem ersten Beitrag etwas merkwürdig vor.

29.04.2010, 13:21

marvster

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Stimmt, es sollte gelten n in N.
Und
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sqrt(3)^k \end{eqnarray*}$
liegt ebenfalls in N.

Vielen, vielen Dank! Ihr wart mir eine große Hilfe!! Gott

03.05.2010, 14:46

stif

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Hi!
Ist zwar eigentich schon geklärt, ich sitze aber gerade an genau der selben Aufgabe und kann das nicht ganz nachvllziehen.
Vorallem diese Aussage:

"2*sqrt(3)^k
liegt ebenfalls in N"

N ist doch {0,1,2,3,4,...,n} ?!
Müsste das also nich eine irrationale Zahl sein?
Und wie kommt man auf die Schlussfolgerung, dass n deshalb irrelevant ist?

03.05.2010, 15:19

WebFritzi

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Ist k gerade, dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^k \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Das leuchtet dir nicht ein?

03.05.2010, 15:21

stif

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Ok, doch, das leuchtet mir ein.
sorry für die dumme frage-.-

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