Kompaktheit

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gusi3 Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit
Hallo,
ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe und zwar:

Sei (Y,d) ein metrischer Raum in dem jede abgeschlossene echte Teilmenge kompakt ist. Zeigen Sie, dass dann auch Y kompakt ist.

Kann mir da jemand helfen?
Grüße
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte eine offene Überdeckung .

Nun wähle aus den 's eine nicht-leere Menge aus, z.b. und betrachte mal
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll denn Abgeschlossenheit für einen metrischen Raum definiert sein - bezüglich welcher Übermenge?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Wie soll denn Abgeschlossenheit für einen metrischen Raum definiert sein - bezüglich welcher Übermenge?


Es geht ja um abgeschlossene Teilmengen von Y.
gusi3 Auf diesen Beitrag antworten »

kannst mir vllt jemand einen weiteren hinweis geben .. ich bin noch richtig weiter gekommen. wäre für jeden tipp dankbar!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet die Definition einer abgeschlossenen Menge und was ist dann ?

Ausserdem ist:



Einen grösseren Zaunpfahl finde ich nicht mehr. verwirrt
 
 
gusi3 Auf diesen Beitrag antworten »

müsste dann kompakt sein, oder?? aber wie mache ich dann weiter... habs immernoch nicht vollständig verstanden, wie ich weiter machen soll
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist dann kompakt. Erinnere dich, dass du zeigen musst, dass die (anfangs beliebig gewählte) Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt (das ist die Definition von "kompakt").

Wie könnte dir nun wohl die Tatsache, dass kompakt ist, dabei helfen, eine endliche Teilüberdeckung zu finden?
DoubleCast Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das nicht auch über eine Folge versuchen zu zeigen? Das eine Folge wobei das y1 Folgeglied nicht in einer Menge existiert, die echte Teilmenge von Y ist.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr Kompaktheit nur über Folgen definiert (und warum sagst du das nicht gleich... Forum Kloppe )?! In metrischen Räumen sind die beiden Definitionen folgenkompakt und kompakt nämlich äquivalent.

Wenn ja, dann nimm dir halt ne Folge und versuch einen Widerspruch zu bekommen.

Sei eine beliebige Folge in Y. Wir nehmen an, besitze keinen Häufungspunkt.

Insbesondere ist also kein Häufungspunkt. Was kannst du nun daraus für Umgebungen von folgern?
DoubleCast Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit der Überdeckung hatten wir auch definiert, aber ich kann damit 0 anfangen^^

Wenn eine Folge keinen HFP besitzt, dann hat sie keinen Grenzwert, weil der Grenzwert ja immer der HFP der Folge sein muss.
Und über die Umgebung von lässt sich dann sagen, dass es dort nur endlich viele Folgeglieder gibt.

mmmh...wenn das so richtig ist, dann weiß ich glaube ich auch schon wie ich den Widerspruch gestalten muss Lehrer
DoubleCast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompaktheit
Also mein BEweis in kurzform.

Wir wissen das jede Teilmenge abgeschlossen ist.

Jede Folge in den Teilmengen konvergiert.
So nun nehmen wir an unsere Folge hat keinen HFP

Das in unsere-Umgebung, wobei ist, kein HFP ist. Das bedeutet es gibt dort keinen GW und es gibt einen Widerspruch zu der Aussage das alle Teilmengen abgeschlossen und kompakt sind.
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