charakteristische Funktion

29.04.2010, 14:41

schultz

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charakteristische Funktion

Hallo Leute.
Für M Teilmenge von X ist die charakteristische Funktion XM(x) definiert als 1 für x element M und 0 für x element X\M.
Nun soll ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \end{eqnarray*}$ X[-n,n](x) für x element R und n element N berechnen und überprüfen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist.
Ich glaub ich versteh das nicht ganz...
Für alle natürlichen Zahlen ist die Funktion 1, und für alle Zahlen die keine natürlichen Zahlen sind ist die Funktion ja 0.
Weiß nicht wie ich weiter machen soll, wäre dankbar für nen ansatz bzw eine erläuterung verwirrt

verwirrt

29.04.2010, 14:49

Mazze

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Erster Hinweis :

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \chi_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$

ist die charakteristische Funktion des abgeschlossenen Intervals [-n,n]. Reicht dir das?

29.04.2010, 15:00

schultz

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nicht wirklich...
dass das Intervall [-n;n] abgeschlossen ist bedeutet ja, dass alle Randpunkte auch in der Menge selber liegen.
Heißt das die Funktion konvergiert gegen ihren Rand,eine natürliche zahl, also gegen 1?
so ganz versteh ichs noch nicht...

29.04.2010, 15:03

Mazze

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Zitat:

Heißt das die Funktion konvergiert gegen ihren Rand,eine natürliche zahl, also gegen 1?

Zunächst zu den Begrifflichkeiten. Die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist auf Konvergenz gegen eine Zielfunktion f zu untersuchen. Die Abgeschlossenheit des Intervals ist erst mal nicht wichtig. Mach dir erstmal klar wie eine mögliche Grenzfunktion aussehen könnte. Dafür ist es hilfreich sich mal die Folgenglieder für n =1, n=2, usw. anzuschauen.

29.04.2010, 15:11

schultz

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okay ich dachte du warst auf das abgeschlossen aus...
Okay für n=1 ist das eine Gerade mit dem wert 1 von x=-1 bis x=1, sonst 0.
Für n=2 geht die Gerade von x=-2 bis x=2.
Ich nehme an, die mögliche Grenzfunktion ist also 1?

29.04.2010, 15:13

Mazze

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Zitat:

Ich nehme an, die mögliche Grenzfunktion ist also 1?

Richtig, korrekt formuliert $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt gibt es zwei Dinge zu tun.

Zeigen das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_n = f \end{eqnarray*}$ gilt (punktweise konvergenz).

Untersuchen ob die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

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29.04.2010, 15:22

schultz

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gleichmäßig konvergent heißt ja laut definition:

sup|fn(x)-f(x)|<epsilon für alle x element [-n,n]

das Supremum von meiner charakteristischen Funktion ist ja 1.
--> |1-1|=|0|<epsilon, fn(x) ist somit gleichmäßig konvergent.
Stimmt das so?

29.04.2010, 15:23

Mazze

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Die Definition ist richtig, der Rest nicht. Die Funktionenfolge konvergiert nicht (!) gleichmäßig. Du musst das Supremum über den gesamten Ausdruck $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - 1| \end{eqnarray*}$ betrachten.

29.04.2010, 15:26

schultz

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über dem gesamten Ausdruck?
Supremum war doch die kleinste obere grenze, richtig?
da fn(x) ja maximal 1 werden kann, ist mein Supremum also 0?
das wäre doch wieder das gleiche...da bring ich wohl irgendwas mit dem Supremum durcheinander unglücklich

unglücklich

29.04.2010, 15:28

Mazze

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Nein, das Supremum wird über die x-e bestimmt, formal vollständig aufgeschrieben :

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb{R}}|f_n(x) - 1| \end{eqnarray*}$

29.04.2010, 15:33

schultz

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achso,hab ganz den betrag vergessen... verwirrt

verwirrt

also wäre mein Supremum 1 oder? nämlich genau dann wenn fn(x)=0 ist.sorry dass ich etwas auf dem schlauch stehe...
Somit würde also folgen 1<epsilon und da das nicht erfüllt ist für beliebig kleine epsilon ist die funktion nicht gleichmäßig konvergent.
so richtig?

29.04.2010, 15:36

Mazze

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Im Prinzip ja, genauer

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb{R}}|f_n(x) - 1| = 1 ~ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Damit ist natürlich für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in (0,1) \end{eqnarray*}$ niemals $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb{R}}|f_n(x) - 1| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , und damit konvergiert die Funktionenfolge nicht gleichmäßig.

29.04.2010, 15:50

schultz

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okay danke für deine Geduld smile

smile

im nächsten Schritt soll ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ *X[-n,n](x) gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich bilde also wieder sup | $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ *X[-n,n](x)- $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ |<epsilon.

wenn nun x€ [-n,n] ist, würde 0 übrig bleiben für alle n€N.
Ist x nicht element [-n,n] würde |- $\begin{eqnarray*} e^{-|a|} \end{eqnarray*}$ | übrig bleiben,wobei a € (n, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ (- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , -n) wäre.
Wobei a ja nun immer größer wird wenn ich n--> $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
laufen lasse, und somit wird $\begin{eqnarray*} e^{-|a|} \end{eqnarray*}$ immer kleiner und für n>= n0 kleiner als epsilon.
hoffe das ist verständlich so^^

29.04.2010, 16:04

Mazze

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Es ist recht schwer zu lesen was Du da schreibst. Ich schreibe Dir die Funktion mal hin, wenn Du das Bild der Formel markierts und rechtsclickst und auf Eigenschaften gehst siehst Du den Code dafür :

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = e^{-|x|}\chi_{[-n,n]}(x) \end{eqnarray*}$

Du hast die richtigen Ideen, Dir fehlt es etwas am aufschrieb. Ganz allgemein würde man so vorgehen :

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist zu zeigen das es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb{R}}\left|e^{-|x|}\chi_{[-n,n]}(x) - e^{-|x|}\right| < \varepsilon ~ \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Die Aufgabe ist es jetzt, für dieses Epsilon das n0 zu finden. Wie du richtig gesagt hast ist für $\begin{eqnarray*} x \notin [-n,n] \end{eqnarray*}$ der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} |-e^{|x|}| = e^{-|x|} \end{eqnarray*}$

was Du jetzt gerne hättest wäre der Punkt ab dem

$\begin{eqnarray*} e^{-|x|} < \epsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Dieses x kannst Du bestimmen. Wenn Du das x hast, kannst Du ein entsprechendes n0 bestimmen und Du hast es. Du musst dann natürlich das Supremum noch beachten, untersuche dafür das Monotonieverhalten der Funktion.

29.04.2010, 16:17

schultz

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danke für den schönen aufschrieb meines wirrwars^^
ich kenn mich noch nicht so gut aus mit latex.
also nach logarithmusbildung und umstellen hätte ich dann |x|>-ln $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .
und mein x hängt von meinem n ab. |x| muss größer als n sein. Ich glaube mein n0 muss also [-ln $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ]+1 sein richtig?
Die Funktion ist in ganz R fallend...wieso muss ich das beachten?um zu zeigen dass mein $\begin{eqnarray*} |-e^{-|x|}| \end{eqnarray*}$ wirklich mein Supremum ist oder?

29.04.2010, 16:22

Mazze

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Die Sache ist doch die :

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in \mathbb{R}}\left|e^{-|x|}\chi_{[-n,n]}(x) - e^{-|x|}\right| = \sup_{x \in \mathbb{R} \setminus [-n,n]}\left|e^{-|x|}\right| = e^{-n} \end{eqnarray*}$

Mach Dir klar warum das gilt. Die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ ist steigend für x < 0 und fallend für x > 0. Und genau das ist das wichtige dabei.

Ansonsten ist natürlich die Idee mit dem Logarithmieren richtig.

edit: Habe den Beitrag korrigiert

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