Überlagerung mehrerer Dichtefunktionen

29.04.2010, 14:41	PWU	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlagerung mehrerer Dichtefunktionen Meine Frage: Hallo, zur Zeit beschäftigt mich folgendes Problem, bei dem ihr mir eventuell helfen könnt: Ich betrachte bei einem System eine bestimmte Abstandsmessung bei verschiedenen Situationen. Die unterschiedlichen Situationen wiederum besitzen eine bestimmte Auftrittswahrscheinlichkeit. Für jede Situation habe ich die Dichtefunktion der Abstandsmessung vorliegen, wobei vereinfacht alle einer Normalverteilung unterliegen. Ziel ist nun, eine Aussage zu treffen, wie die Gesamtdichtefunktion der Abstandsmessung aussieht. Wie gehe ich hierbei vor?? Meine Ideen: Dazu habe ich beispielsweise das Stichwort Reproduktivität gefunden. Dabei wird zum Einen die Auftrittshäufigkeit dieser Funktion nicht berücksichtigt, Zum Anderen habe ich Formeln gefunden, nach denen ich die Sigma und My Werte aufsummieren soll. Dabei wird mein Mittelwert an eine falsche Stelle verschoben, muss ich daher diese Werte noch durch die Anzahl der aufsummierten Werte dividieren?? Auch das Stichwort Faltung habe ich gefunden. Hier wäre nach meinem Verständnis eine Gewichtung nach Auftrittswahrscheinlichkeit enthalten. Wäre super wenn mir jemand helfen kann, eine Erweiterung ist, dass die aufzusummierenden Dichtefunktionen nicht alle Normalverteilt sind sondern unterschiedliche Verteilungen aufweisen. Danke schonmal für eure Bemühungen, Philipp
30.04.2010, 14:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das von dir beschriebene Szenario ist keine Summe von Normalverteilungen, sondern eine Mischung dieser Normalverteilungen. Im Klartext: Wenn Normalverteilung $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(\mu_k,\sigma_k^2) \end{eqnarray}$ mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ ausgewählt wird, das ganze für $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ (d.h. es ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n p_k = 1 \end{eqnarray}$ ), dann gilt für die Verteilungsfunktion der entsprechenden Zufallsgröße $\begin{eqnarray} F(x) = \sum_{k=1}^n p_k \cdot \Phi\left( \frac{x-\mu_k}{\sigma_k} \right) \end{eqnarray}$ mit entsprechender Dichte $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=1}^n \frac{p_k}{\sigma_k} \cdot \varphi\left( \frac{x-\mu_k}{\sigma_k} \right) \end{eqnarray}$ . Das ist was völlig anderes als die Summe von Zufallsgrößen, denn bei jener hat man die Faltung der Dichten bzw. Verteilungsfunktionen zu betrachten statt wie oben die gewichtete Summe.
30.04.2010, 14:46	PWU	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, Dankeschön - ABER... Super, danke. Genau sowas habe ich gesucht, jedoch nicht gefunden... Habe gerade die Dichtefunktionen in Gnuplot ausgeben lassen, sieht super aus, genau wie ichs erwartet habe... Jetzt allerdings zur Erweiterung...Wie gehe ich vor, wenn ich verschiedene Verteilungen habe?? Wäre super, wenn du auch hierfür eine Lösung parat hättest... Vielen Dank soweit, Philipp
30.04.2010, 15:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich genauso: Wenn $\begin{eqnarray} F_k \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktionen der Ausgangszufallsgrößen sind, dann ist $\begin{eqnarray} F(x) = \sum_{k=1}^n p_k F_k(x) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=1}^n p_k f_k(x) \end{eqnarray}$ .
30.04.2010, 15:13	PWU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön Ja, klingt logisch ;-) hätte ich auch selbst sehen können, aber so ist der Mensch in Foren: zuerst fragen, dann denken... Vielen Dank für die super schnelle Hilfe! Grüße Philipp
04.05.2010, 16:22	PWU	Auf diesen Beitrag antworten »
kurze Frage hinterher... Hallo, jetzt habe ich doch noch ein kurze Frage zu den o.g. Formeln...woher stammen diese eigentlich?? Mit den erzeugten Ergebnissen bin ich ganz zufrieden, sie sind nachvollziehbar, jetzt gehts dran, in meiner Arbeit die Herkunft der Formeln zu erläutern. Mit den Stichworten "Mischung" und "gewichtete Summe" konnte ich in keinem Sachbuch die Formel finden. Wäre cool, wenn du mir hier einen Literaturhinweis oder ein Stichwort geben kannst... Schöne Grüße Philipp
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04.05.2010, 17:21	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurze Frage hinterher... man nennt das "Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit" http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wa...rscheinlichkeit

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