drei verschiedene Basen eines Vektorraums finden

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29.04.2010, 18:31	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
drei verschiedene Basen eines Vektorraums finden Hallo, ich habe hier eine aufgabe, bei welcher ich von selbst nicht weiterkomme und zwar sollen für den Vektorraum $\begin{eqnarray} W = (x\in R^3 \| 2x1 + 3x2 = 0) \end{eqnarray}$ drei Basen gefunden werden... Wie soll ich denn hier vorgehen? ich weiss nicht so ganz, was ich mir unter der bedingung (2*x1+....) vorstellen soll... zuvor in einer aufgabe war V = R^3 gegeben, aber das ist ja ganz einfach... danke!
29.04.2010, 18:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: drei verschiedene Basen eines Vektorraums finden $\begin{eqnarray} W = \{x \in \mathbb R^3~ \|~ 2x_1 + 3x_2 = 0 \} \end{eqnarray}$ So, wo liegt das Problem? Man findet doch recht schnell Beispiele für Vektoren, die da drin liegen. [ausprobieren!] Im IR³ können wir uns das ganze auch noch vorstellen. Was ist denn dieses W? $\begin{eqnarray} W = \{x \in \mathbb R^3~ \|~ (2,3,0)(x_1,x_2,x_3)^T = 0 \} \end{eqnarray}$ Dass sind einfach alle Vektoren, die die mit dem Vektor (2,3,0) einen 90°Winkel einschließen. Das ist eine Ebene, und (2,3,0) ist der Normalenvektor. Um diese Ebene zu beschreiben braucht man 2 lu Vektoren. Aber man ist nicht gezwungen, bestimmte zu nehmen.
29.04.2010, 23:54	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
ah... hoffe, ich hab dich richtig verstanden ich hab mir den raum bzw. die ebene aufgemalt und nun ist alles, was sich da drin befindet und die ebene aufspannt, meine gesuchten basen, oder ? z.b. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$
30.04.2010, 00:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du brauchst 2 lu Vektoren für je eine Basis. W ist ein 2D UVR des IR³. Und ein Vektor, der bestimmt nicht drin liegt, oder der Normalenvektor. (2,3,0).
30.04.2010, 00:09	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja, so stehts auch bei uns im skript... wenn z = 0 ist, dann wird ein 2-dim unterraum von R^3 gebildet. Und ich muss ja die 2 linear unabhängigen vektoren angeben, die diese basis bilden... also, neuer versuch ! eine Basis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.04.2010, 00:12	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
da ist was schief gegangen... es sollte so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diese beiden vektoren bilden eine basis, richtig?
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30.04.2010, 00:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du liest nicht was ich schreibe. (2,3,0) ist NICHT in der Basis drin.
30.04.2010, 00:34	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
hmpf, ich steh auf dem schlauch aber ok, versuch nummer drei. der vektor ist nicht in der gesuchten basis drin... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ besser?
30.04.2010, 00:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
erfüllen die denn die Bedingung? $\begin{eqnarray} W = \{x \in \mathbb R^3~ \|~ (2,3,0)(x_1,x_2,x_3)^T = 0 \} \end{eqnarray}$
30.04.2010, 00:49	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
du sagtest, dass (2,3,0) der normalenvektor ist, der senkrecht auf dieser ebene steht. das würde wieder heißen, meine vektoren passen nicht dazu :P $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bedingungen sind erfüllt hmmmmmmmmmmm?!
30.04.2010, 00:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt schon, dass du mich ein wenig in den Wahnsinn treibst? $\begin{eqnarray} W = \{x \in \mathbb R^3~ \|~ 2x_1 + 3x_2 = 0 \} \end{eqnarray}$ Die Vektoren in W müssen also erfüllen $\begin{eqnarray} 2x_1 + 3x_2 = 0 \end{eqnarray}$ Nun schauen wir uns deine Vorschläge an $\begin{eqnarray} 2\cdot 0 + 3\cdot 3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 = 0 \end{eqnarray}$
30.04.2010, 01:05	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
das mache ich doch gerne )) ich habs mir gerade mit dem normalenvektor noch einmal angeschaut... ok, die bedingung habe ich verstanden, aber wie bilde ich damit zwei linear unabhängige vektoren? beispiel: (3, -2, 0) ergibt 0... aber jeder weitere vektor, den ich an diese bedingung knüpfen würde, wäre doch linear abhängig vom ersten???! wo liegt mein denkfehler ?
30.04.2010, 01:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
du denkst im wahrsten Sinne des Wortes zu eindimensional. $\begin{eqnarray} 2x_1 + 3x_2 = 0 \end{eqnarray}$ Da fällt einem sicher $\begin{eqnarray} 2\cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 0 \end{eqnarray}$ ein. Da wir die dritte Komponente dieses Vektors doch in der Gleichung gar nicht berücksichtigen, fällt mir sofort noch ein trivialer und zum ersten Vektor linear unabhängiger Vektor ein. Read my mind.
30.04.2010, 01:30	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
brrrrrrrrrrrrrrrrrrr... so langsam fange ich an zu verzeweifeln die dritte komponente wird nicht berücksichtigt, bleibt also immer 0... ich weiss ehrlich nicht, was ich da einsetzen könnte
30.04.2010, 01:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles außer 0 würde dich unheimlich voranbringen.
30.04.2010, 01:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles außer 0 würde dich unheimlich voranbringen. Dass x3 in der Bedingun keine Rolle spielt, heißt doch nicht dass immer x3=0 gilt.
30.04.2010, 01:42	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
sag das doch gleich folgende vektoren bilden eine basis(z.b.): (3, -2, 0) und (-3, 2, 5) sag bitte, dass das richtig ist, damit ich in ruhe schlafen gehen kann
30.04.2010, 01:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich doch gesagt, in dem ich den UVR definiert habe. Leider kannst du immer noch nicht ins Bett. Punkt 2 erfuellt doch nicht die Bedingung. du hast zu viel geaendert.
30.04.2010, 01:53	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
mhhhhhhh... 2(-3) + 32 = 0 linear unabhängig sind sie, weil ich für beide x eine bestimmte lösung habe (x1 = x2 = 0)... was stimmt denn nicht?
30.04.2010, 02:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun machst du mich schon durcheinander. Die einfachste Lösung ist doch (3,-2,0) und (3,-2,1). Erfüllen die Bed. und sind l.u. Morgen kannst du dir noch 2 basteln.
30.04.2010, 02:06	Nadinchen87	Auf diesen Beitrag antworten »
die beiden, die ich zuvor angegeben habe, haben die bedingung doch auch erfüllt ...(3, -2, 0) und (-3, 2, 5) aufjedenfall vielen vielen dank für deine denkanstöße und natürlich auch die ausdauer ! gut nacht
30.04.2010, 02:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mich mit dem "minus" verwirrt, ich dachte du hättest 2, und 3 wieder vertauscht. Sie stimmen aber auch. Erholsamen Schlaf.

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