Differenzierbarkeit von exp(abs(x))

29.04.2010, 21:02

XiaoBao

Differenzierbarkeit von exp(abs(x))

Hi,

es soll untersucht werden, ob die Funktion für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Gegebenenfalls soll die Ableitung gebildet werden.

Definition der Differenzierbarkeit:

Zitat:

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig ist, also genau eine Tangente existiert.
Man kann auch sagen, an Stellen, an denen der Graph einer Funktion Spitzen oder Knicke besitzt, ist die Funktion nicht differenzierbar.

Zunächst die 1. Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{| x |} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion besitzt an keiner Stelle eine Polstelle, einen Sprung oder eine Lücke. (Oder ist bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ein "Knick"?)

Alle Ableitungen von $\begin{eqnarray*} e^{ x } \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} e^{ x } \end{eqnarray*}$ .

Ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{| x |} \end{eqnarray*}$ aber auch $\begin{eqnarray*} e^{| x |} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn das zutrifft, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar, weil an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert. Ist das richtig?

Nun die 2. Funktion: $\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} 0 & \text{für }x < 0\\ x^2 & \text{für }x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich wusste leider nicht, wie ich hierfür den Plotter benutzen kann. Deswegen nur eine Beschreibung des Graphen. Die Funktion ist für $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \text{ und bei } x<0 \text{ ist } g(x) \text{ auch }= 0 \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist es eine normale Quadratfunktion.

Auch diese Funktion besitzt an keiner Stelle eine Polstelle, einen Sprung oder eine Lücke. Korrekt?

Die 1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} g'(x)=\begin{cases} 0 & \text{für }x < 0\\ 2x & \text{für }x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es existiert also auch an jedem Punkt des Graphen von g genau eine Tangente!?

Entsprechend ist die Funktion auch für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Ist das Alles so weit richtig? verwirrt

Hab leider die VL nicht besuchen können und bin mir nun nicht sicher, ob ich es jetzt richtig verstanden habe oder da noch Denkfehler drin sind. :P

29.04.2010, 21:26

Leopold

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Was ist denn das für eine Definition? Hier gehen strenge Begriffe und fragwürdige, wenn auch plausible Veranschaulichungen ganz schön durcheinander.

Zum Verfahren selber siehe hier. Was sind, auf dein Beispiel bezogen, $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi(x) \end{eqnarray*}$ ?

29.04.2010, 22:03

XiaoBao

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Die Definition habe ich von einer Seite die ich hier als sehr einfache und anschauliche Erklärung zu Differenzierbarkeit empfohlen sah.

Die pdf in deinem Link hilft mir aber auch schon sehr viel besser weiter! smile

Auf mein Beispiel bezogen ist bei $\begin{eqnarray*} x=0 \text {, }\varphi(x)=\Psi(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Auch für die 1. Ableitung gilt bei $\begin{eqnarray*} x=0 \text {, }\varphi'(x)=\Psi'(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Folglich ist die Funktion Differenzierbar!?

Das geht bei der 2. Funktion, aber bei der Ersten ist diese Methode nicht anwendbar oder?

29.04.2010, 23:57

XiaoBao

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Ich habe gerade nochmals deinen Link näher angeschaut und habe gemerkt, dass gar nicht die zip Datei, sondern der gesamte Thread für meine beiden Funktionen relevant ist.

Zu meiner 1. Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{|x|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} e^{x} & \text{für }x\geq 0\\ e^{-x} & \text{für }x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

dann ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} e^{x} & \text{für }x\geq 0\\ -e^{-x} & \text{für }x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Entsprechend ist die Funktion f an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar, da die 1. Ableitung von phi und psi an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ 1 respektive -1 ergeben und somit eine Knickstelle vorhanden ist.

30.04.2010, 00:02

Iorek

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Generell der richtige Gedanke, allerdings etwas unsauber aufgeschrieben.

1. Warum sind $\begin{eqnarray*} e^x,~e^{-x} \end{eqnarray*}$ diff'bar?

2. $\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} e^x & x>0 \\ -e^{-x} & x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ , wo ist der Unterschied zu dem was du geschrieben hast? Warum ist das wichtig?

30.04.2010, 08:49

XiaoBao

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Ahh, ok, ich sehe meinen Fehler.

Also, $\begin{eqnarray*} e^x,~e^{-x} \end{eqnarray*}$ sind an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ diff'bar, da beides 1 ergibt.

f' ist zumindest an allen Stellen ungleich 0 diff'bar, für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ muss ich das noch untersuchen. Hmm.. ehrlich gesagt weiss ich nicht genau, warum es wichtig ist, es so zu schreiben. Liegt es daran, dass ich nur die diff'barkeit für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ untersuchen kann, wenn ich es auf beide Therme anwende und wenn ich meine Schreibweise nutzen würde, dies nicht so möglich wäre?

30.04.2010, 09:28

Iorek

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Zitat:

Original von XiaoBao
Also, $\begin{eqnarray*} e^x,~e^{-x} \end{eqnarray*}$ sind an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ diff'bar, da beides 1 ergibt.

Das ist gar nicht gefragt, viel mehr ist die Frage, wieso du direkt annehmen darfst, dass $\begin{eqnarray*} \left[e^x\right]'=e^x,~\left[e^{-x}\right]'=-e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist

Zitat:

Original von XiaoBao
f' ist zumindest an allen Stellen ungleich 0 diff'bar, für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ muss ich das noch untersuchen.

Erstmal meinst du denke ich "f ist diff'bar", nicht f'. Aber genau das ist ist der Punkt, den du kurz begründen solltest.

Zitat:

Original von XiaoBao
Hmm.. ehrlich gesagt weiss ich nicht genau, warum es wichtig ist, es so zu schreiben. Liegt es daran, dass ich nur die diff'barkeit für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ untersuchen kann, wenn ich es auf beide Therme anwende und wenn ich meine Schreibweise nutzen würde, dies nicht so möglich wäre?

Ob f diff'bar in 0 ist wollen wir ja gerade erst noch untersuchen. Dazu muss f zuerst einmal stetig in x=0 sein (wie überprüfst du das das?), und wenn f stetig ist, kann man jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert der Ableitung an der Stelle x=0 betrachten.

Edit: Bei dir in der Ableitung steht schon mit drin, dass f in x=0 diff'bar ist, darum ist das falsch.

30.04.2010, 12:17

XiaoBao

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Also dann.. auf ein Neues.. smile

f ist in allen $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ diff'bar, da f in allen $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist und für jeden Wert von x genau eine Tangente existiert. Es gibt mit andere Worten nach der 1. Ableitung für jeden Wert von $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und jeden Wert von $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ genau einen Ableitungswert.

Das kann ich natürlich nur sagen, wenn meine Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{|x|} \end{eqnarray*}$ richtig ist.

Ich bin mir da nicht ganz sicher, aber habe diese Ableitung von Leopolds Post in seinem verlinkten Thread abgeleitet, in dem er schrieb:

Zitat:

Original von Leopold
Für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |x^3| = x^3 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |x^3| = -x^3 \end{eqnarray*}$ . Man erhält also den Graphen der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = |x^3| \end{eqnarray*}$

aus dem Graphen der Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ ,

indem man deren linken Ast an der x-Achse spiegelt. Dabei ändert die Steigung das Vorzeichen (bei 0 bleibt die Steigung 0). Also gilt

$\begin{eqnarray*} g'(x) = 3x|x| \end{eqnarray*}$

(das ist rechts von 0 gleich $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ , links von 0 gleich $\begin{eqnarray*} -3x^2 \end{eqnarray*}$ und bei 0 gleich 0).

Daraus entnehme ich, dass für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{|x|}=e^x \end{eqnarray*}$ ist, und für für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{|x|}=e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist. Nun, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist soweit ich weiss $\begin{eqnarray*} -1*e^{-x} \end{eqnarray*}$ . Ausserdem, und vielleicht wolltest du darauf hinaus, bedeutet das auch, dass an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ die Ableitung ist, und somit 2 verschiedene Ableitungswerte, also 2 verschiedene Tangenten, existieren.
Demzufolge ist f(0) nicht diff'bar.

Ob f(0) stetig ist, überprüft man, indem man guckt, ob f(0) existiert --> ja = 1, ob ein Grenzwert von f(0) existiert (gibt es hier im Forum eine gute Definition des Grenzwertes und wie er berechnet wird, oder einen Link dazu?), muss für die Berechnung des Grenzwertes die 1. Ableitung gebildet werden? Oder diese Variante?:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f(x)=\lim_{x \downarrow 0}e^{|x|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} f(x)=\lim_{x \uparrow 0}e^{|x|} \end{eqnarray*}$

Bei letzterer Variante nähern sich die Werte 1 von oben bzw, von unten. Ich würde das mit meinem jetzigen Kenntnisstand so interpretieren, ausgehend davon, dass so der GW berechnet wird, dass der GW existiert und 1 ist.
Als letztes muss ich noch gucken, ob f(0) = dem GW ist. Wenn der GW nun 1 ist, dann ist auch diese Vorraussetzung erfüllt, und f ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ auch stetig.

Wenn die Ableitung gebildet werden muss, und ich gehe jetzt wieder davon aus, dass ich dies korrekt gemacht habe, dann müsste es doch so aussehen?!:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f(x)=\lim_{x \downarrow 0}e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} f(x)=\lim_{x \uparrow 0}-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Hier nähern sich die Werte 1 bzw. -1. Somit würde dann kein GW existieren und f(0) wäre demnach auch nicht stetig.

Aber was ist nun korrekt? Oder sind beide meiner Ansätze falsch? verwirrt

Danke nochmals für die ganze Hilfe die ich bisher schon erhalten habe und auch für die, die ich noch hoffe zu erhalten! Freude

30.04.2010, 17:11

Iorek

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Warum ist f diff'bar auf IR\{0} bzw. stetig auf IR? Hattet ihr den Satz, dass die Verkettung von diff'baren Funktion wieder diff'bar ist bzw. von stetigen Funktionen wieder stetig?

Damit ist $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto e^{|x|} \end{eqnarray*}$ stetig auf ganz IR als Verkettung stetiger Funktionen und mit der Umformung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R, ~x\mapsto\begin{cases} e^x & x\geq 0 \\ e^{-x} & x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ist f diff'bar auf IR\{0} als Verkettung diff'barer Funktion mit $\begin{eqnarray*} f':\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} e^x & x>0 \\ -e^{-x} & x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nur noch zu überprüfen, ob f diff'bar in 0 ist. Dazu bildest du $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\nearrow 0} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\searrow 0}f'(x) \end{eqnarray*}$ . Wenn die Grenzwerte existieren und übereinstimmen ist f auch diff'bar in 0.

Im Prinzip hast du genau das gemacht, nur solltest du es bitte noch nicht formal aufschreiben und die richtigen Begründungen (evtl. Satznummern aus eurer Vorlesung) angeben.

Zitat:

Original von XiaoBao
Wenn die Ableitung gebildet werden muss, und ich gehe jetzt wieder davon aus, dass ich dies korrekt gemacht habe, dann müsste es doch so aussehen?!:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f(x)=\lim_{x \downarrow 0}e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} f(x)=\lim_{x \uparrow 0}-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Hier nähern sich die Werte 1 bzw. -1. Somit würde dann kein GW existieren und f(0) wäre demnach auch nicht stetig.

Du betrachtest hier die Ableitungsfunktion, änder das also in $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\nearrow 0}f'(x) \end{eqnarray*}$ um. Aber wieso folgt damit, dass f nicht stetig in 0 ist? Wir haben doch schon gesagt, dass f auf ganz IR stetig ist...

01.05.2010, 03:52

WebFritzi

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Ganz formal richtig wäre es erst, wenn man das über den Differentialquotienten in x = 0 macht.

Es ist zwar richtig, dass eine stetige Funktion (-1,1) --> IR, die auf (-1,0) und (0,1) diffbar ist, genau dann diffbar in x = 0 ist, wenn die Ableitung auf (-1,1) stetig fortsetzbar ist. Aber das muss man erstmal beweisen. Ich meine, Arthur Dent hat das hier irgendwann mal auf dem Board vorgeführt.

01.05.2010, 08:52

Leopold

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Man kann es sich hier eine Spur leichter machen, weil man etwas stärkere Voraussetzungen hat.
Stimmen zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b) \end{eqnarray*}$ überein, so haben sie bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch dasselbe Differenzierbarkeitsverhalten (bezüglich Differenzierbarkeit von rechts). Hier konkret

$\begin{eqnarray*} f(x) = \operatorname{e}^{|x|} \, , \ \psi(x) = \operatorname{e}^x \, ; \ \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \psi(x) \, ; \ x \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$

Also haben $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ dasselbe rechtsseitige Differenzierbarkeitsverhalten. Nun ist $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ bekanntermaßen differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} \psi'(0) = e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Das ist dann zugleich die rechtsseitige Ableitung von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und muß daher nach dem gerade Gesagten auch die rechtsseitige Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \psi'(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Analog zeigt man mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \operatorname{e}^{-x} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Differenzierbarkeit von links

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \varphi'(0) = -1 \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt also bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ sowohl eine links- als auch eine rechtsseitige Ableitung, die allerdings nicht übereinstimmen. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar.

In der pdf-Datei aus meinem Link wird das in einer Übersicht dargestellt.

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