Landau- Symbol

29.04.2010, 22:02

imag

Landau- Symbol

Hallo
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Ich will für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)-x+\frac{x^3}{3!} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass gilt
$\begin{eqnarray*} f(x)=O(x^5), x \to 0 \end{eqnarray*}$
Ich bin so weit, da ja gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=O(g(x)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to0 \end{eqnarray*}$ falls gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sup |\frac{f(x)}{g(x)}|<\infty \end{eqnarray*}$
Also habe ich jetzt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sup|( sin(x)-x+\frac{x^3}{3!})\frac{1}{x^5}| \end{eqnarray*}$
Habe jetzt etwas Probleme mit der Grenzwertbestimmung. Ich komme immer wieder darauf, dass der Term gegen unendlich läuft aber genau das darf ja nicht sein. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

29.04.2010, 23:24

hoax

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RE: Landau- Symbol
Ich würde einen anderen Ansatz wählen, Stichwort Taylorreihenentwicklung.

29.04.2010, 23:59

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sup|( sin(x)-x+\frac{x^3}{3!})\frac{1}{x^5}| \end{eqnarray*}$
Habe jetzt etwas Probleme mit der Grenzwertbestimmung. Ich komme immer wieder darauf, dass der Term gegen unendlich läuft aber genau das darf ja nicht sein. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Ja, der Ausdruck divergiert halt... smile

30.04.2010, 09:57

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Zitat:

Original von gonnabphd
Ja, der Ausdruck divergiert halt...

Die Betrachtung mit Taylorreihe oder von mir aus auch L'Hospital sagt was anderes.

30.04.2010, 12:44

imag

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Damit ich das gewünschte beweisen kann darf der Ausdruck doch auch garnicht divergieren oder?
Ich versuche mich dann mal an l'Hospital oder Taylorreihe.

30.04.2010, 13:14

imag

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Also ich habe es jetzt mal mit mehrfacher Anwendung durch L'Hospital probiert.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sup|( sin(x)-x+\frac{x^3}{3!})\frac{1}{x^5}|=\frac{1}{120} \end{eqnarray*}$
Kann das stimmen?

03.05.2010, 18:32

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Es stimmt. Freude

05.05.2010, 07:41

imag

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Danke für die Hilfe.

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