Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton

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29.04.2010, 22:09	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton Hallo Habe hier was zu beweisen aber komme irgendwie nicht richtig voran. Und zwar: Ich will mit Hilfe des Satzes von Cayley Hamilton (Jede quadratische Matrix erfüllt ihr charakteristisches Polynom) beweisen, dass für den Index der Nilpotenz k einer Matrix $\begin{eqnarray} N\in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} k\leq n \end{eqnarray}$ . Also ich weiß, was eine Nilpotenz ist und ich kenne Cayley Hamilton. Aber ich habe irgendwie keine Idee wie das hier zusammenführen kann, um das hier zu beweisen. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
29.04.2010, 23:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom http://de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Matrix Damit sollte sich der gewünschte Widerspruch basteln lassen. CH braucht ein CP. Und wie sieht das CP einer NM aus?
30.04.2010, 19:44	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton Also charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} \chi_A (\lambda)=det (\lambda I-A) \end{eqnarray}$ charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb C^{nxn} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \chi_A (\lambda)=det (\lambda I-A)0 \lambda ^n \end{eqnarray}$ Also müsste doch dann nach dem Satz von Carley Hamilton gelten: $\begin{eqnarray} A^n =0 \end{eqnarray}$ und da ich weiß, dass meine Matrix nilpotent ist gilt $\begin{eqnarray} A^k=0, A^{k-1}\neq 0 \end{eqnarray}$ Wenn ich einen Widerspruch bekommen will, müsste ich jetzt anehmen k>n. Dann habe ich mir überlegt, wenn $\begin{eqnarray} A^k=0 \end{eqnarray}$ und k>n, kann $\begin{eqnarray} A^n \neq 0 \end{eqnarray}$ sein, muss aber nicht oder? Würde es schon für den Widerspruch genügen, dass es sein kann? Stimmt das so?
30.04.2010, 19:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton Angenommen, der Nilpotenzgrad k ist größer als n. Da nun A aber eine nilpotente Matrix ist, ist 0 der einzige Eigenwert und das Char. Poly ist gerade $\begin{eqnarray} \chi_A (\lambda)= \lambda ^n \end{eqnarray}$ . Laut dem Satz von CH gilt nun (Nullmatrix!) $\begin{eqnarray} A^n = 0 \end{eqnarray}$ , was im Widerspruch zu k>n steht. Damit war die Annahme falsch.
30.04.2010, 20:03	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Lea: Wenn $\begin{eqnarray} A^m = 0 \end{eqnarray}$ für ein m gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} A^{m+1} = A^{m+2} = \ldots = 0. \end{eqnarray}$ Der Nilpotenzgrad ist die kleinste Zahl k, für die $\begin{eqnarray} A^k = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Du hast nun selber $\begin{eqnarray} A^n = 0 \end{eqnarray}$ bewiesen. Was folgt daraus für den Nilpotenzgrad k?
30.04.2010, 20:13	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton Vielen Dank, für die Ordnung meines Chaoses und die Hilfe!
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30.04.2010, 20:17	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe von Cayley Hamilton @ WebFritzi: Danke das hat genau das verdeutlich, was anfangs mein Problem war. Aber jetzt ist es mir glaube ich klar. k muss kleiner/gleich sein als n, da k sonst nicht der Nilpotenzgrad sein könnte.
30.04.2010, 20:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
30.04.2010, 20:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätten wir das ja.
30.04.2010, 21:06	Lea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Hilfe! Hat mir sehr geholfen.

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