Injektivität und Surjektivität

27.10.2006, 16:43

Frooke

Injektivität und Surjektivität

Hallo. Ich habe da eine Aufgabe, die wohl sehr einfach ist, aber ich finde im Moment keinen Ansatz und mit der Boardsuche fand ich keine Aufgabe von diesem Typus.

Studieren Sie die Injektivität und die Surjektivität folgender Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\qquad\binom{x}{y}\mapsto x-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\qquad\binom{x}{y}\mapsto \begin{pmatrix} &x^2+y^2 -1& \\ & x & \\ & y &\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Folgende Gedanken habe ich mir zur Ersten gemacht:

$\begin{eqnarray*} f\text{ ist nicht injektiv, denn es ist: }f\binom{a}{b}=f\binom{-b}{-a}=a-b \end{eqnarray*}$

Und anschaulich denke, ich dass f surjektiv ist, aber wie kann ich das korrekt zeigen?

Und bei g fehlt mir auch der Ansatz, es richtig zu zeigen. Vielen Dank für die Hilfe!

Mfg Frooke

27.10.2006, 16:49

sqrt(2)

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RE: Injektivität und Surjektivität

Zitat:

Original von Frooke
Und anschaulich denke, ich dass f surjektiv ist, aber wie kann ich das korrekt zeigen?

Nun, gib zu jedem $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ an, das auf z abgebildet wird. Da geht besonders einfach, wenn du $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ wählst.

Zitat:

Original von Frooke
Und bei g fehlt mir auch der Ansatz, es richtig zu zeigen.

Nun, g ist nicht surjektiv, betrachte $\begin{eqnarray*} (0,0,0)^t\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

27.10.2006, 17:00

Frooke

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RE: Injektivität und Surjektivität

Zitat:

Original von sqrt(2)
Nun, gib zu jedem $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ an, das auf z abgebildet wird. Da geht besonders einfach, wenn du $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ wählst.

Nun, g ist nicht surjektiv, betrachte $\begin{eqnarray*} (0,0,0)^t\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Manchmal möchte ich mich verprügeln Augenzwinkern

. Vielen Dank, Benedikt, da hatte ich wieder mal ein Brett vor dem Kopf... unglücklich

Hast Du noch eine Idee für die Injektivität bei g? Da fehlt mir nämlich auch der Ansatz.

27.10.2006, 17:13

sqrt(2)

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Nun die Definition von Injektivität ist ja

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) ~\Ra~ x=y \end{eqnarray*}$ .

(Vielleicht habt ihr es auch als $\begin{eqnarray*} x\neq y ~\Ra~ f(x)\neq f(y) \end{eqnarray*}$ definiert, aber das ist aussagenlogisch äquivalent.)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x^2+y^2-1\\x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v^2+w^2-1\\v\\w\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liefert mit der Defintion der Gleichheit im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ genau das, was du brauchst.

27.10.2006, 18:31

Frooke

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Vielen lieben Dank Gott

. (Ich hatte einfach zu weit gesucht.)...

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