Indirekter Beweis

27.10.2006, 16:46

martin85

Indirekter Beweis

Hallo, ich soll durch indirekten Beweis zeigen, dass \sqrt{2} keine rationale Zahl ist. Ich kann damit irgendwie nichts anfangen. Kann mir jemand vielleicht eine Denkhilfe geben?
Gruß Martin

27.10.2006, 16:48

martin85

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RE: Indirekter Beweis
Soll so heißen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

27.10.2006, 16:53

Frooke

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Nehme an, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und führe dies zu einem Widerspruch.

Konkreter:

Wegen $\begin{eqnarray*} 1^2=1<2<2^2=4 \end{eqnarray*}$ kannst du auch annehmen...

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2=\frac{p}{q},q\ne1 \end{eqnarray*}$

27.10.2006, 16:57

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Frooke
Wegen $\begin{eqnarray*} 1^2=1<2<2^2=4 \end{eqnarray*}$ kannst du auch annehmen...

Wenn man den Beweis so führen möchte, muss man aber die Monotonie der Wurzelfunktion voraussetzen. Es geht auch elementarer.

Wichtig in beiden Fällen ist, dass man oBdA voraussetzt, p und q seien teilerfremd (das geht, weil man jeden Bruch, bei dem das nicht der Fall ist, kürzen kann, der Wert des Bruchs nach dem Kürzen aber der gleiche ist).

27.10.2006, 18:30

Frooke

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Ja da hast Du recht. Allerdings ist das für natürliche Zahlen nicht ein wirkliches Problem (einfacher Induktionsbeweis)...

27.10.2006, 23:31

brain man

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Servus !

Hier liegt der euklidische Beweis der Irrationalitäti von 2 vor :

Also starte mit Annahme :

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \end{eqnarray*}$ hat eine rationale Lösung - ist also als vollständig gekürzter Bruch der Form $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ darstellbar. Demensprechend gilt :

$\begin{eqnarray*} (\frac{p}{q})^2 = 2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p^2 = 2 q^2 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Zeile geht der Wiederspruch hervor.

28.10.2006, 10:57

Frooke

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Letztlich schon aus dieser Zeile:

Zitat:

Original von brain man
$\begin{eqnarray*} (\frac{p}{q})^2 = 2 \end{eqnarray*}$

Denn wenn $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ ein gekürzter Bruch ist, so ist es auch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{q}\right)^2 \end{eqnarray*}$ . Folglich:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N\ni 2=\left(\frac{p}{q}\right)^2\not\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Und das ist der Widerspruch. Eine andere Argumentation, die ich mal gesehen habe (die aus Deiner letzten Zeile folgt):

$\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ Die rechte Seite der Gleichung ist durch 2 teilbar, somit auch die Linke. Wenn nun $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ durch 2 teilbar ist, so auch p. Wir folgern dass p eine gerade Zahl ist, und wir stellen sie dar als $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2}p \end{eqnarray*}$ . Einsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} 4a^2=2q^2\Longleftrightarrow 2a^2=q^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun können wir die Behauptung von oben für p auch auf q anwenden und setzen $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2}q \end{eqnarray*}$ . Dies liefert:

$\begin{eqnarray*} 2a^2=4b^2\Longleftrightarrow a^2=2b^2\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Wir haben für Wurzel(2) also einen Bruch gefunden, der einfacher ist, als p/q. Dies widerspricht der Annahme, p/q sei gekürzt (ausserdem kann man ja nach diesem Muster immer weitere, einfachere Brüche finden...).

28.10.2006, 14:22

brain man

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Man kann auch trivial über Primfaktorzerlegungen argumentieren. $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ haben eine gerade Anzahl von Primfaktoren. $\begin{eqnarray*} 2q^2 \end{eqnarray*}$ hat eine ungeradzahlige Anzahl von Primfaktoren. Da $\begin{eqnarray*} p^2 = 2q^2 \end{eqnarray*}$ ein und dieselbe Zahl ist und somit dieselbe Anzahl an Primfaktoren haben muss, kann die Gleichung nicht stimmen.

q.e.d. Augenzwinkern

28.10.2006, 16:04

Frooke

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Passt. Habe ich nicht daran gedacht, sorry Gott

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