X+ und dessen Dichte/Verteilung

30.04.2010, 14:16

xemle75ml

X+ und dessen Dichte/Verteilung

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem bezüglich folgender Definitionen:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X} \end{eqnarray*}$ , sowie Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{X} \end{eqnarray*}$ . Nun sollen anhand dieser Vorraussetzungen die Verteilungsfunktionen von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^{-} \end{eqnarray*}$ angegeben werden.
Mein Problem liegt dabei in erster Linie bei den Definitionen von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X^{-} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X^{+}:=max(X,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X^{-}:=min(X,0) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für den diskreten Fall macht die Formulierung für mich noch irgendwo Sinn, da dann im Grunde ja einfach $\begin{eqnarray*} P[X^{+}=0]=P[X \leq 0] \end{eqnarray*}$ gelten müsste (oder verstehe ich die Definition von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ hier schon völlig falsch?)
Und falls es stimmen sollte, wie sähe dann allein die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ aus, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetige $\begin{eqnarray*} U[-1,1]-Verteilung \end{eqnarray*}$ wäre? Handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ dann schlicht um eine $\begin{eqnarray*} U[0,1]-ZG \end{eqnarray*}$ mit dementsprechender Verteilungsfunktion, oder wie ist das zu verstehen?
Danke schonmal für Hilfe

30.04.2010, 14:20

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Zitat:

Original von xemle75ml
Für den diskreten Fall macht die Formulierung für mich noch irgendwo Sinn, da dann im Grunde ja einfach $\begin{eqnarray*} P[X^{+}=0]=P[X \leq 0] \end{eqnarray*}$ gelten müsste

Das ist richtig, und zwar immer, nicht nur im diskreten Fall. Augenzwinkern

Zitat:

Original von xemle75ml
Und falls es stimmen sollte, wie sähe dann allein die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ aus, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetige $\begin{eqnarray*} U[-1,1]-Verteilung \end{eqnarray*}$ wäre?

Dazu müsste es erstmal diese Dichtefunktion geben, was hier gerade nicht der Fall ist. unglücklich

Aus der Stetigkeit einer Zufallsgröße X kannst du ohne weiteres nicht auf die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} X^+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X^- \end{eqnarray*}$ schließen. Betrachte also erstmal die Verteilungsfunktionen, die gibt es schließlich immer.

01.05.2010, 00:23

xemle75ml

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Bedeutet das dann aber nicht im Grunde, dass es sich bei der Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ um nichts anderes als $\begin{eqnarray*} P[0 \leq X \leq t] \end{eqnarray*}$ handelt, wobei $\begin{eqnarray*} P[X^{+}=0]=P[X \leq 0] \end{eqnarray*}$ . Damit müsste die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ also gleich der von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein, mit dem Unterschied, dass $\begin{eqnarray*} P[X^{+} \leq 0=0] \end{eqnarray*}$ gilt?

01.05.2010, 01:04

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Zitat:

Original von xemle75ml
Damit müsste die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ also gleich der von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein, mit dem Unterschied, dass $\begin{eqnarray*} P[X^{+} \leq 0=0] \end{eqnarray*}$ gilt?

Nicht so verwaschen, sondern formuliere mal genau:

Für welche reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F_{X^+}(t) = F_X(t) \end{eqnarray*}$ , und für welche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt es (i.a.) nicht?

01.05.2010, 17:03

xemle75ml

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Gilt dann also einfach $\begin{eqnarray*} F_{X^{+}}(t)=\begin{cases}F_{X}(t), \forall t \geq 0\\ 0,\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?
Würde dann auch Sinn machen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ dann nicht mehr um eine stetige Zufallsgröße handelt, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} U[-1,1]ZG \end{eqnarray*}$ wäre, da $\begin{eqnarray*} F_{X^{+}}(t) \end{eqnarray*}$ demzufolge dann ja unstetig in $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ sein müsste. Ist das so korrekt?

01.05.2010, 17:29

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Ja, ist richtig: An der Stelle 0hat die VF von $\begin{eqnarray*} X^+ \end{eqnarray*}$ nun einen Sprung, dessen Höhe gerade $\begin{eqnarray*} P(X^+=0) = P(X\leq 0) \end{eqnarray*}$ beträgt, und ist damit nicht mehr stetig, sofern dieser Wert echt positiv ist.

01.05.2010, 18:09

xemle75ml

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Super. Danke!

05.05.2010, 12:42

xemle75ml

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Eine Frage hätte ich im Nachhinein noch:
Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ beispielsweise eine $\begin{eqnarray*} U[-1,1]-Verteilung \end{eqnarray*}$ hat, so ist $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ ja offensichtlich keine stetige Zufallsgröße mehr. Wie würde man diese ZG $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ dann bezeichnen? (denn diskret scheint sie ja dadurch auch nicht zu sein) Oder kann man hierzu einfach keine Aussage treffen, da man in diesem Fallbeispiel zu $\begin{eqnarray*} X^{+} \end{eqnarray*}$ keine Dichte angeben kann?

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