Zylinder, Schwerpunkt errechnen

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30.04.2010, 15:39	Korolew	Auf diesen Beitrag antworten »
Zylinder, Schwerpunkt errechnen Folgender Zylinder ist gegeben: Dichtefunktion: RHO = x^2 Radius=2 Achse des Zylinders ist die z-Achse und wird von den Ebenen z=-1 und z=3 beschränkt. Ich nehme Zylinderkoordinaten, x=rcos beta y=rsin beta z=z DV=rdrd beta dz Formel laut Formelbuch: $\begin{eqnarray} sz = 1/M\int_K^a \! z RHO \, dV \end{eqnarray}$ sx und sy sind 0, wegen Symmetrie. Masse: $\begin{eqnarray} M= \int_a^b \! RHO \, dV \end{eqnarray}$ Ich errechne die Jakobideterminante: Jakobimatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos\beta & -rsin\beta & 0 \\ sin\beta & rcos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Determinante = r $\begin{eqnarray} M=\int_{z=-1}^3 \! \int_{\beta =0}^{2\pi } \! \int_{r=0}^2 \! r^3cos^2\beta \, dr \, d\beta \, dz \end{eqnarray}$ Als Ergebnis erhalte ich 16 PI. $\begin{eqnarray} zs= \int_{z=-1}^3 \! \int_{\beta =0}^{2\pi } \! \int_{r=0}^2 \! zx^2 \, dr \, d\beta \, dz \end{eqnarray}$ mit x=rcos beta. Als zs Erhalte ich 2/3. Ist das so korrekt? PS: Was muss ich mir unter RHO = x^2 vorstellen? Unten keine Masse, oben Masse x^2? Edit: Verschoben nach Analysis. Gruß, Reksilat.
03.05.2010, 07:56	Korolew	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner?
03.05.2010, 10:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Dichte des Zylinders nur von x abhängt, nicht aber von y, z, können wir sofort folgendes ablesen: (1) Der Schwerpunkt liegt auf halber Höhe bei z=1 (=Mittelwert von z=-1 und z=3) (2) Die y-Koordinate des Schwerpunktes lautet y=0. Wir müssen also nur noch die x-Koordinate des Schwerpunktes S(x\|0\|1) berechnen. Dazu schneiden wir aus dem Zylinder (wie bei einer Wurst) eine dünne Scheibe heraus (parallel zur xy-Ebene). Diese Scheibe ist gerade die runde Querschnittsfläche. Es ist klar, dass die gesuchte x-Koordinate des Zylinderschwerpuntes mit der x-Koordinate dieser runden Scheibenschwerpunktes übereinstimmt. Aus Symmetriegründen müssen wir von der runden Scbeibe nur die obere Hälfte betrachten (Halbkreis über der x-Achse). Die x-Koordinate des Halbkreis-Schwerpunktes bekommt man nach der allgemeinen Formel wie folgt $\begin{eqnarray} x_s=\frac{\int_{-2}^{+2} \! x^3 \sqrt{4-x^2}\, dx}{\int_{-2}^{+2} \! x^2 \sqrt{4-x^2}\, dx} \end{eqnarray}$ Der Faktor $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ im Integranden des Zählers kommt wie folgt zustande: Einerseits hat die Dichte gerade den Wert $\begin{eqnarray} \rho=x^2 \end{eqnarray}$ . Andererseitrs muss bei der Schwerpunktberechnung noch ein zusätzlicher Faktor x hinzugefüht werden muss, also insgesamt $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ . Die Wurzel im Integranden kommt von der Kreisgleichung $\begin{eqnarray} x^2+y^2=R^2 \end{eqnarray}$ mit R=2. Im Nenner wird nur die Masse berechnet, so dass dort anstelle von des Faktors $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ nur der Faktor $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ auftritt. Substituiere nun $\begin{eqnarray} x=2 \cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ . Dann erhälst du wegen $\begin{eqnarray} dx=2 \cdot \cos(\phi) d\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_s=\frac{\int_{-180°}^{+180°} \! 32\cdot \sin^3(\phi) \cdot \cos^2(\phi) \, d\phi}{\int_{-180°}^{+180°} \! 16\cdot \sin^2(\phi) \cdot \cos^2(\phi) \, d\phi} \end{eqnarray}$ Die Stammfunktionen im Zähler und Nenner fndet man entweder in Tabellenbüchern, oder man versuchte es durch mehrmalige partielle Integration.
03.05.2010, 10:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch die x-Koordinate des Schwerpunkts ergibt sich ohne Rechnung zu x = 0. Denn die Dichte ist ja symmetrisch zu x = 0 verteilt. Formal sieht man das an dem Integral im Zähler. Das ist antisymmetrisch zu x = 0 und ergibt daher exakt 0.
03.05.2010, 11:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huggy Du hast recht. Habe völlig übersehen, dass x^2 symmetrisch ist.
03.05.2010, 14:06	Korolew	Auf diesen Beitrag antworten »
das verstehe ich nicht, die Masse ist abhängig von x^2. Wie kommst du dann auf sz=1? bzw. wo ist in meinem Integral der fehler?
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04.05.2010, 08:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich wurde bereits alles gesagt. Du musst gar kein Integral lösen, sondern kannst den Schwerpunkt allein aus der Symmetrie des Zylinders bzw. aus der Symmetrie der Dichteverteilung wie folgt ablesen: (1) Da die Dichte des Zylinders nur von x abhängt, müssen die y- und die z-Koordinate des Schwerpunktes "in der geometrischen Mitte" des Zylinders liegen, also bei y=0 und z=1. Der letztere Wert ist gerade die Mitte zwischen der höchsten und tiefsten z-Koordinate z=3 und z=-1. (2) Da die Dichte $\begin{eqnarray} \rho=x^2 \end{eqnarray}$ symmetrisch zur Mitte x=0 liegt, verteilt sich die Masse gleichmäßig auf die rechte und linke Seite der x-Richtung. Deshalb liegt die x-Koordinate des Schwerpunktes ebenfalls in der Mitte, also bei x=0 Insgesamt lautet der Schwerpunkt also S(0,0,1)
04.05.2010, 10:54	Korolew	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke für die Antworten. Dennoch möchte ich zwecks Verständnis und Übung mittels Integral auf die Lösung kommen. Also: $\begin{eqnarray} V= \int_0^{2\pi} \! \int_0^2 \! \int_{-1}^{3} \! r \, dz \, dr \, d\beta \end{eqnarray}$ Das Volumen ist 16 PI. Das stimmt soweit. Nun die Masse: $\begin{eqnarray} M= \int_0^{2\pi} \! \int_0^2 \! \int_{-1}^{3} \! rr^2cos^2(\beta ) \, dz \, dr \, d\beta \end{eqnarray}$ Ich erhalte als Ergebnis wieder 16 PI, irgendwas stimmt da nicht $\begin{eqnarray} sz= 1/M \int_0^{2\pi} \! \int_0^2 \! \int_{-1}^{3} \! zr^2cos^2(\beta ) \, dz \, dr \, d\beta \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Formel von sz, erhalte ich: (32/3 *PI) / (16 PI) = 2/3 Hilfe
04.05.2010, 11:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso steht bei dir im Integranden für $\begin{eqnarray} s_z \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ ? Da gehört genau wie bei dem Integral für M doch $\begin{eqnarray} r^3 \end{eqnarray}$ hin! Nach dieser Korrektur kürzen sich die Integrale über $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ im Zähler und Nenner gegeneinander weg. Und wenn du den Rest richtig ausrechnest, kommt 1 heraus, wie es dir Ehos schon gesagt hat und wie der gesunde Menschenverstand es dir hätte sagen müssen.
04.05.2010, 12:58	Korolew	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Herrje Danke

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