Abgeschlossenheit einer Hyperebene im R^n

30.04.2010, 18:20

crosell

Abgeschlossenheit einer Hyperebene im R^n

Meine Frage:
Hey Leute,

in letzter Zeit frag ich doch öfter, als auf dem Forum mitzuhelfen, momentan hab ich aber kaum Zeit, sorry dafür. smile

Nun zur Frage. Ich hab hier eine Hyperebene die ff. definiert ist.:

$\begin{eqnarray*} H:=\{x\in\mathbb{R}^n: a^T(x-x_0)=0\} \end{eqnarray*}$ .

Dabei sind sowohl $\begin{eqnarray*} x_0,a\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und der Ausdruck der verschwinden soll, meint das Skalarprodukt von a mit der Differenz von x und x_0. Zu zeigen ist die Abgeschlossenheit jeder solcher Hyperebene bzgl. der euklidischen Norm.

Meine Ideen:
Bis zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist die ganze Sache ja schonmal schön anschaulich. Ich konnte mir daher auch für die Beweisidee schonmal erschließen, dass ich wohl am besten über die Topologische Stetigkeit gehen werde. Genau dort ist auch mein Ansatz, ich habe also eine Funktion definiert wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, x\mapsto\sum\limits_{i=1}^n a_i(x_i-x_{0_{i}}) \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich die Stetigkeit dieser Funktion zeigen, die Abgeschlossenheit von H bekomme ich damit ja quasi geschenkt (aufgrund der Bildmenge in H Big Laugh

). Stetigkeit wollte ich mit Epsilon-Delta-Stetigkeit machen. Also schau ich mir erstmal $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y)) \end{eqnarray*}$ an für ein beliebiges festes x,y aus R^n.
Dabei bin ich auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))=|a^T(x-y)| \end{eqnarray*}$ . An dieser Stelle hänge ich nun leider etwas fest. Am besten wäre eine Abschätzung so dass ich irgendwie nen Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} d(x,y) \end{eqnarray*}$ bekomme, s.d. ich eine Epsilon und eine passendes Delta -was von Epsilon abhängt- bekomme und somit dann eben die Stetigkeit. Der Rest wäre dann nicht weiter tragisch. Am Anfang dachte ich noch über Kugeln oder Folgenkompaktheit und den Satz von Heine-Borel nach, aber dafür müsste jede Hyperebene kompakt sein. ^^

Wär für ein paar Ideen wieder mal sehr dankbar.

Grüße euer Crosell

30.04.2010, 18:39

tmo

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Zunächst einmal würde ich anmerken, dass es reicht die Stetigkeit von
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, x\mapsto\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i \end{eqnarray*}$
zu zeigen.

Denn $\begin{eqnarray*} a^T(x-x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} a^Tx=a^Tx_0 \end{eqnarray*}$ .

Und das ist eigentlich gar nicht so schwer. Nehme mal an es sei $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ und schätze $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ etwas ab.

edit: Fall du etwas Inspiration brauchst. Hier wurde eine äquivalente Aussage bewiesen:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=416773&hilight=Halbraum

30.04.2010, 18:46

crosell

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ach klar, dass mit der Gleichheit der Skalarprodukte hatte ich auch schon erfasst, aber noch nicht eingebunden, eigentlich weil ich die Stetigkeit unabhängig von H machen wollte, aber im Endeffekt gehts um H und daher sollte es reichen wenn f für die Elemente aus H stetig ist. Nagut dann bastel ich mal noch ein wenig rum. Ich poste dann nochma, danke für den Link tmo smile

30.04.2010, 19:17

crosell

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Ich bin nun auch m.H. des anderen Threads auf ff. sehr schöne Abschätzung gekommen: Ist $\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq\delta \end{eqnarray*}$ dann kommt man auf $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))\leq n\cdot\sup_{i=1,..,n}|a_i|\cdot\delta \end{eqnarray*}$ .

Was sagst du tmo ? Sieht doch schon sehr beschränkt aus die Geschichte oder? Nun könnte ich doch ohne weiteres $\begin{eqnarray*} \varepsilon :=n\sup_{i=1,..,n}|a_i|\delta \end{eqnarray*}$ setzen denke ich.

30.04.2010, 19:26

tmo

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Zitat:

Original von crosell
Nun könnte ich doch ohne weiteres $\begin{eqnarray*} \varepsilon :=n\sup_{i=1,..,n}|a_i|\delta \end{eqnarray*}$ setzen denke ich.

Andersrum. Du kannst $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\varepsilon}{nA} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A := \sup\limits_{1\leq i \leq n} |a_i| \end{eqnarray*}$ setzen.

Denn das Epsilon ist ja beliebig. Das Delta musst du wählen.

Übrigens: Wie Leopold auch in dem anderen Thread schon angedeutet hat, kann man auch direkt die Linearität von f ausnutzen.

Sei $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ normiert. Dann folgt sofort $\begin{eqnarray*} |f(u)| \leq nA \end{eqnarray*}$ .

Also für beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |f(x)|=\|x\| \left|f\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right| \leq nA\|x\| \end{eqnarray*}$ , woraus sogar die Lipschitz-Stetigkeit von f folgt.

30.04.2010, 19:28

WebFritzi

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Nein. Epsilon setzt du nicht in Abhängigkeit von Delta. Du sagst erst: Sei Epsilon > 0. Dann findest du ein Delta, so dass |f(x) - f(y)| < Eps aus ||x - y|| < Delta folgt.

Nach deiner Abschätzung kannst du hier also $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\varepsilon}{n\sup|a_i|} \end{eqnarray*}$ wählen.

Deine Abschätzung ist übrigens nicht die beste. Es geht besser:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)|\;\le\;\left(\sum_i\,|a_i|^2\right)^{1/2}\cdot\|x - y\|. \end{eqnarray*}$

Dabei ist (wie oben auch) ||.|| die euklidische Norm.

30.04.2010, 22:08

crosell

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Um ehrlich zu sein kenne ich das auch so, dass man wie WebFritzi schon sagt, erst von hinten anfängt und epsilon bestimmt und dann delta passend wählt, s.d. dann der Abstand der Funktionswerte kleiner Epsilon bleibt. Deshalb war der Schritt vorhin auch über, hätte gleich das Delta in Abhängikeit von Epsilon angeben sollen. Übung macht den Meister sag ich da nur und nach sehr sehr sehr vielen Abschätzungen sollte ich das dann auch irgendwann mal sicherer beherrschen.

Danke an tmo und WebFritzi. Letzterem auch für die bessere Abschätzung.

Schönes Wochenende euch beiden Augenzwinkern

30.04.2010, 22:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von crosell
Um ehrlich zu sein kenne ich das auch so, dass man wie WebFritzi schon sagt, erst von hinten anfängt und epsilon bestimmt

Das ist so nicht richtig formuliert. Man "bestimmt" Epsilon nicht. Man wählt es einfach beliebig. Das ist etwas ganz anderes.

30.04.2010, 23:43

crosell

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Ja du hast recht. Es ist etwas anderes. Ich habe auch schon in anderen Beweisen ausgenutzt, dass Epsilon beliebig, vor allem beliebig klein gewählt werden kann. War vorhin etwas zügig geschrieben der Beitrag Hammer

01.05.2010, 11:19

crosell

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Nochmal zur Begründung der feineren Abschätzung von WebFritzi, hab mir das jetz nochmal angeschaut, also wäre für

$\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))=||f(x)-f(y)||=||a^T(x-y)||\leq ||a||\cdot ||x-y||=(\sum\limits_{i} |a_i|^2)^{\frac{1}{2}}\cdot ||x-y|| \end{eqnarray*}$ . Gehe ich richtig in der Annahme, dass hier die Homogenität der Norm ausgenutzt wird, da für das Skalarprodukt im R^n das Distributivgesetz Gültigkeit hat man dann a aus der Norm isolieren kann und damit dass ganze größer wird, da man damit den Betrag über die einzelnen Komponenten a_i bildet, womit logischerweise der Betrag des Vektors dann größer wird und das Skalarprodukt damit auch größer ausfällt?

01.05.2010, 11:40

tmo

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Die Norm ist bzgl. der Skalarmultiplikation homogen. Aber hier haben wir das Skalarprodukt.

Auf die Abschätzung von WebFritzi kommt man mit Cauchy-Schwarz.

01.05.2010, 12:02

crosell

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Ahh na klar Cauchy-Schwarz mensch. LOL Hammer

Also praktisch $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))=|f(x)-f(y)|=|\sum\limits_i a_i(x_i-y_i)|\leq \sum\limits_i |a_i|\cdot |x_i-y_i|\leq (\sum\limits_i |a_i|^2)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sum\limits_i |x_i-y_i|^2)^{\frac{1}{2}}=(\sum\limits_i |a_i|^2)^{\frac{1}{2}}\cdot ||x-y|| \end{eqnarray*}$ .

Super Sache ^^

01.05.2010, 17:56

WebFritzi

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