Poisson- und Binomialverteilung bei Produktion

30.04.2010, 20:07	Froschkopp	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson- und Binomialverteilung bei Produktion Meine Frage: Hallo! Könnte mir jemand vielleicht bei dieser Aufgabe helfen: Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschuss-Anteil von 3%, wobei der Fehler rein zufällig auftritt. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 200 Stück genau drei Stück Ausschuss zu finden ist? (Exakt und mit Poisson-Approximation zu rechnen!) (b) Wieviel Stück Ausschuss sind in diesen 200 Stück zu erwarten, und mit welcher Schwankungsbreite (=Standardabweichung)? (c) Ein intaktes Stück bringt 2 Euro Gewinn, ein Stück Ausschuss einen Verlust von 5 Euro. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Gewinns bei einer Produktion von 10 000 Stück! Meine Ideen: Bei (a) mit Poisson komme ich auf: 0,1512. Bin mir nicht sicher, ob mit "exakt" binomialverteilt heißt. Habe jedenfalls dann noch diese Formel angewendet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 200 \\ 3 \\ \end{pmatrix}0,03^{3} 0,97^{197} = 0,0878 \end{eqnarray}$ Bei (b) habe ich einen $\begin{eqnarray} Erwartungswert=6 \end{eqnarray}$ und eine $\begin{eqnarray} Varianz=5,82 \end{eqnarray}$ Stimmen (a) und (b) soweit? Zu (c) habe ich leider keine Ahnung...
01.05.2010, 14:22	Froschkopp	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder ist es bei (a) Poisson-Verteilung folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{6^{3} }{3!}e^{-6}=0,08923 \end{eqnarray}$ ??? Bei (c) wäre meine Idee jetzt diese: $\begin{eqnarray} Erwartungswert 1= 100000,03 =3005Euro=1500 Euro (Verlust) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Erwartungswert 2= 100000,97 =97002Euro=19400 Euro (Gewinn) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Differenz: 17900 Euro \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Varianz1= 100000,03(1-0,03)=291 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Varianz2= 100000,97(1-0,97)=291 \end{eqnarray}$ hebt sich auf. Also: $\begin{eqnarray} Varianz=0 \end{eqnarray*}$ Richtig?!
01.05.2010, 16:29	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die exakte Verteilung ist die Binomialverteilung. Sonst ist alles richtig, bis auf die Varianz bei c). Dass die falsch ist, sollte dir schon der gesunde Menschenverstand sagen. Wäre 0 richtig, müsste bei wiederholter Fertigung von 10000 Teilen der Gewinn immer exakt 17900 sein. Formal kannst du das so angehen: Sei X die Zahl der Defekte, Y der Gewinn und n = 10000 die Fertigungsmenge. Dann hat man: $\begin{eqnarray} Y=2(n-X)-5X=2n-7X \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} V(Y)=V(7X)= ... \end{eqnarray}$

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