Konvergenz einer Vektorfolge

30.04.2010, 21:03

DOZ ZOLE

Konvergenz einer Vektorfolge

Hallo,

ich möchte die folge $\begin{eqnarray*} \vec{b_k}=\begin{pmatrix} \frac{2^{k+1}}{\sqrt{k} } \\ e^{\frac{1}{k}} \\ \sinh(\cos(k\pi)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf konvergenz untersuchen. diese folge konvergiert ja genau dann wenn alle komponentenfolgen konvergieren.

ich hab jetzt schon ein problem mit der ersten komponentenfolge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{2^{k+1}}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ hier hab ich ja die situation $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

normalerweise würde ich jetzt l'hopital anwenden aber der ist ja nur bei fkt ansetzbar. kann ich jetzt ohne per induktion zu zeigen das $\begin{eqnarray*} 2^{k+1}>\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ diesen grenzwert berechnen?

30.04.2010, 22:04

WebFritzi

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Du könntest hier zwar auch l'Hospital verwenden, aber das wäre vielleicht etwas zu viel des Guten, denn

$\begin{eqnarray*} 2^k = (1+1)^k = \sum_{j=0}^k\,\binom k j = 1 + k + \ldots \ge k. \end{eqnarray*}$

30.04.2010, 22:19

DOZ ZOLE

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ok danke erstmal.

aber mir is auch gerade noch was zu meiner idee eingefallen.

$\begin{eqnarray*} 2^{k+1}>\sqrt{k} \Leftrightarrow 2^{2k+2}>k \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2k}>k \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 4\cdot 2^{2k}>k \end{eqnarray*}$ offensichtlich für alle k erfüllt.

30.04.2010, 22:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
da $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 4\cdot 2^{2k}>k \end{eqnarray*}$ offensichtlich für alle k erfüllt.

Und wie beweist du das?

Übrigens bringt dir deine Idee $\begin{eqnarray*} 2^{k+1} > \sqrt{k} \end{eqnarray*}$ gar nichts. Denn auch $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{k} > \sqrt{k}, \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\to 2. \end{eqnarray*}$

30.04.2010, 22:41

DOZ ZOLE

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naja wenn ich zeigen könnte das $\begin{eqnarray*} 2^{k+1}>\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ denn könnte ich beim $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{2^{k+1}}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ argumentieren das der zähler schneller gegen unendlich geht als der nenner und somit der ganze term gegen unendlich geht.

30.04.2010, 22:43

WebFritzi

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Nein! Wozu gebe ich dir ein Gegenbeispiel, wenn du nicht mal drüber nachdenkst. unglücklich

30.04.2010, 22:46

DOZ ZOLE

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ah stimmt. sry hab den zusammenhang zwischen meiner idee und deinem beispiel iwie gerade nciht geblickt.

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