Differenzierbarkeit

30.04.2010, 21:31	"yannick"	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Hallo miteinander , Da ich bei folgender Aufgabe nicht ganz weiterkomme würde ich mich wahnsinnig freuen wenn ihr mir erklären könntet, wie man am Besten an sowas rangeht Also man soll die Stellen finden an denen die folgendermaßen definierte funktion f: $\begin{eqnarray} IR^n \end{eqnarray}$ ----> $\begin{eqnarray} IR \end{eqnarray}$ mit f(x) = $\begin{eqnarray} \| x \| \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und dort den Gradienten berechnen. Wobei $\begin{eqnarray} \| . \| \end{eqnarray}$ die euklidische Norm bezeichne. Außerdem soll man eine Skizze für n=2 anfertigen. Ok wie zeigt man dass die Fkt. an der Stelle Null nicht differenzierbar ist? einfach so indem man nachweist dass der linke und rechte Grenzwert für x---> 0 nicht übereinstimmen? Was ist der Gradient? Lautet der in etwa so: grad f(x) = $\begin{eqnarray} \frac{x}{b} \end{eqnarray}$ wobei b = die euklidische Norm von x (leider kann ich keine 2 Betragstriche mit dem Index 2 texten) und x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} IR^n \end{eqnarray}$ \{0} Und wie zeichnet man die Niveaulinien von so nem Teil. Sind das nicht Kreise? Viele Grüße yannick
30.04.2010, 22:30	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert kann man hier doch gar nicht sprechen. Und ja, die Niveaulinien sind Kreise. Zum Zeigen der Nicht-Diffbarkeit in Null: Verwende doch einfach die Definition. Wäre die Funktion in Null diffbar, dann gäbe es laut Definition einen Vektor $\begin{eqnarray} a = (a_1,\ldots,a_n)^T, \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} f(h) - f(0) = a^Th + r(h). \end{eqnarray}$ Dabei ist r eine Funktion mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\,\frac{r(h)}{\\|h\\|} = 0. \end{eqnarray}$ Eingesetzt (f(x) = \|\|x\|\|) ergibt das $\begin{eqnarray} \sqrt{h_1^2 + \ldots + h_n^2} = a_1h_1 + \ldots + a_nh_n + r(h). \end{eqnarray}$ Setze nun mal $\begin{eqnarray} h_1 = 1/m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_2 = h_3 = \ldots = h_n = 0 \end{eqnarray}$ in die Gleichung ein, multipliziere mit m und lasse dann m gegen Unendlich laufen. Damit solltest du $\begin{eqnarray} a_1 = 1 \end{eqnarray}$ rausbekommen. Mache nun das gleiche mit $\begin{eqnarray} h_1 = -1/m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h_2 = h_3 = \ldots = h_n = 0. \end{eqnarray}$ Dann solltest du $\begin{eqnarray} a_1 = -1 \end{eqnarray}$ folgern, was dann ein Widerspruch wäre.
01.05.2010, 22:31	"yannick"	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Aber ich frage mich wie deine Definition der Differenzierbarkeit lautet wie du also schon den ersten Teil zeigst Stimmt der Gradient eigentlich so in etwa? yannick

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