Lim x -> 0 von x^x |
| 01.05.2010, 14:23 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lim x -> 0 von x^x Wir sollen den Grenzwert für die Folge x^x mit x gegen 0 bestimmen. Die anderen Aufgaben haben irgendwas mit l'hospital zu tun aber kann ich hier nicht einfach 0 einsetzen und bekomme 1 als Grenzwert?? Danke :-) |
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| 01.05.2010, 14:40 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, denn "Null hoch irgendwas" ist immer 0 und "Irgendwas hoch Null" ist immer 1 - aber was ist dann 0^0 ... 0 oder 1? Der Term "0^0" ist unbestimmt und einfach Einsetzen geht daher nicht. Hier hilft Dann kannst du l'Hospital anwenden und die Stetigkeit der e-Funktion verwenden. air |
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| 01.05.2010, 14:56 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab l'hospital bisher nur mit Brüchen gemacht. Welche sind hier meine teilfunktionen ? |
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| 01.05.2010, 14:58 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreibe deine Funktion doch erstmal so um, wie ich es dir vorgeschlagen habe. air |
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| 01.05.2010, 15:07 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so. Und nu? Klar ich kann das in nen Bruch zwingen und einfach durch 1 teilen aber macht man das so? Könnte ich nun nicht einfach auch sagen dass e^0 1 ist? e^0 ist ja bestimmt. |
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| 01.05.2010, 15:09 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
exp(0) mag zwar bestimmt sein, aber das liegt für x->0 hier ja nicht vor (zumindest mal nicht unmittelbar so, dass man es "einfach sieht"), denn ln(x) geht für x->0 mal locker gegen -oo ... nicht ganz unproblematisch, nicht wahr? 
So "zwingst" du das Produkt, das im Exponenten steht, in einen Bruch. Jetzt vergwissere dich, dass du l'Hospital überhaupt anwenden darfst und wenn du das getan hast, dann wende den Satz einfach an. Zum Schluss brauchst du natürlich noch das Argument, dass die e-Funktion stetig ist (warum?). air P.S.: Geschickterweise bringst du das 'x' als 1/x in den Nenner, das macht die Ableitungen einfacher. |
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| 01.05.2010, 15:27 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ln x geht gegen unendlich für x gegen 0? Würde zumindest Sinn machen .;-) |
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| 01.05.2010, 15:30 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das macht der Logarithmus nicht. Als Hochschulstudent sollte man schon wissen, wie der Logarithmus verläuft ... und wenn nicht, in meinem letzten Post steht, was ln(x) für x->0 macht (noch genauer: für x->0 von rechts).
air |
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| 01.05.2010, 15:34 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry genau das meinte ich. Ich hab mir 1/(ln x ) angeschaut und da 0 rausbekommen und mih dann vertan :-) ich bekomme also 0/0 raus. Leite nun ab und hab dann nen lecker Grenzwert? Sorry dass ich nicht texe aber ich bin aufm iPhone unterwegs und da is Dawn Krampf. |
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| 01.05.2010, 15:36 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei diesen simplen Termen wie 1/ln(x) musst du nicht texen, keine Sorge. Allerdings ist mir nicht klar, wie weit du nun bist. Das ist das letzte, von dem ich weiß: Wie hast du den Exponenten nun denn umgeschrieben? Deine Antwort riecht verdächtig danach, dass du meinen Hinweis
glatt überlesen hast. air |
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| 01.05.2010, 15:46 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So. Ln x / (1/x) hab ich draus gemacht da kommen dann locker flockig 2 liegende achten bei raus. Also leite ich den schmunzius da ab und bekomme (1/x)/(1/-x^2) was zu -x2/1 wird also kommt e^-x2/1 = e^0 = 1 raus?? |
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| 01.05.2010, 15:49 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Langsam!
Es ist Da bleibt kein x², sondern nur noch ein lineares x stehen.
Den Grenzwert davon für x gegen Null (aus dem Positiven) kannst du ja nun leicht bestimmen. Jetzt wirds aber spannend: Wir haben nun herausgefunden. Berechnen wollten wir aber Jetzt kommt das entscheidende Argument mit der Stetigkeit. Was darfst du machen und warum? air |
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| 01.05.2010, 15:56 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei stetigen Funktionen dürfen wir den Limes in den Exponenten ziehen oder? |
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| 01.05.2010, 15:58 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Das folgt sofort ... nein, das ist nämlich gerade die Eigenschaft (u.U. sogar Definition) der Stetigkeit: Damit hast du ja nun alles beisammen 
Zum Schluss gucken wir mal, ob das Ergebnis '1' anschaulich auch hinhauen könnte: Sieht gut aus.
air |
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| 01.05.2010, 16:02 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prima danke :-) |
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| 01.05.2010, 16:19 | Seppel123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geht noch weiter :-) (1/x)-(1/e^x-1) hab erstmal das Ding auf einen bruchstrich gebracht, kam 0/0 raus. Also l'hospital. Kam immernoch 0/0 raus. Also nochmal. Nu hat's gepasst und ich habe 1/2 raus. Kann das stimmen? |
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| 01.05.2010, 16:27 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als kleine Anmerkung zu deiner ersten Frage, die kann man nämlich auch durchaus ohne L'Hospital lösen: . Wenn man jetzt weiß, dass , bekommt man mit der Stetigkeit direkt: . L'Hospital ist zwar ein starkes Werkzeug, hier aber eigentlich nicht nötig/umständlich
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| 01.05.2010, 16:45 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Iorek Erstmal muss man das aber eben wissen! Als Alternative durchaus okay, aber ich finde nicht, dass man hier sagen kann, dass l'Hospital "umständlich" sei. Für mich sind beide Wege "gleich gut", der mit l'Hospital ist eben etwas "schematischer". air |
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| 01.05.2010, 16:56 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darum war das ja auch nur als Anmerkung gedacht; setzt man das Wissen über diesen Grenzwert vorraus, finde ich es trotzdem einfacher. L'Hospital ist ja durchaus richtig, nur ist die Rechnung damit um einiges aufwendiger, zumindest wenn man es formal richtig aufschreibt. Ich wollte deinen Lösungsweg damit auch keinesfalls schlecht machen 
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| 01.05.2010, 16:58 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist ja auch nicht "mein" Lösungsweg, sondern der, den der TE sowieso eingeschlagen hat.
Aber Alternativen sind ja niemals schlecht. Mir ging es nun nur darum, dass ich l'Hospital nicht wirklich "umständlicher" finde. Geschmackssache.
air |
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