Äquivalenzbeweis

01.05.2010, 12:45	fridolin2340	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzbeweis Meine Frage: Sei (\mathbb K) ein Körper, und sei A /in M_{mn}((\mathbb K)). Beweisen Sie das folgende Aussagen äquivalent sind: 1. Es gibt eine Matrix B /in M_{nn}((\mathbb K)), B /neq 0, sodass alle Einträge von AB null sind. 2. Rg(A)<n. Meine Ideen: Ich bin jetzt 12 Jahre aus den Themen raus und find mich erst langsam wieder rein ... Hier meine Gedanken: zu 1.) die einfachste Variante wäre ja eigentlich: B=0, wurde aber blöderweise ausgeschlossen. c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj} muss also immer 0 ergeben. ^ das ist ja zB. bei A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} und B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} der Fall. Zu 2.)Rg(A)<n bedeutet ja, dass der Rang auf jeden Fall kleiner ist, als die Spaltenzahl von A. und jetzt steck ich fest... Habs Studium gerade erst an der FernUni begonnen und tu mich ein wenig schwer damit, neben der Arbeit und den bevorstehenden Berufsabschlussprüfungen wieder in das "Mathe-Deutsch" reinzukommen... Jemand ne Idee, wo man besser ansetzt oder nen Tipp, wies weitergehen könnte?
01.05.2010, 12:56	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle, die helfen wollten, könnten ... Meine Frage: Sei ( $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ ) ein Körper, und sei $\begin{eqnarray} A /in M_{mn}((\mathbb K)) \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie das folgende Aussagen äquivalent sind: 1. Es gibt eine $\begin{eqnarray} Matrix B /in M_{nn}((\mathbb K)), B /neq 0, \end{eqnarray}$ sodass alle Einträge von AB null sind. 2. $\begin{eqnarray} Rg(A)<n \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich bin jetzt 12 Jahre aus den Themen raus und find mich erst langsam wieder rein ... Hier meine Gedanken: zu 1.) die einfachste Variante wäre ja eigentlich: B=0, wurde aber blöderweise ausgeschlossen. $\begin{eqnarray} c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj} \end{eqnarray}$ muss also immer 0 ergeben. ^ das ist ja zB. bei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Fall. Zu 2.) $\begin{eqnarray} Rg(A)<n \end{eqnarray}$ bedeutet ja, dass der Rang auf jeden Fall kleiner ist, als die Spaltenzahl von A. und jetzt steck ich fest... Habs Studium gerade erst an der FernUni begonnen und tu mich ein wenig schwer damit, neben der Arbeit und den bevorstehenden Berufsabschlussprüfungen wieder in das "Mathe-Deutsch" reinzukommen... Jemand ne Idee, wo man besser ansetzt oder nen Tipp, wies weitergehen könnte?

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