Repräsentantensystem und Äquiv-Klassen

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Repräsentantensystem und Äquiv-Klassen
Ertsmal guten Tag allen.

Aufgabe

Zeigen Sie, dass durch

( , ) ( , ) ² + ² = ² + ²

eine Äquivalenzrelation auf definiert ist.
Geben Sie ein vollständiges Repräsentantensystem an und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse des Punktes ( 3 , 4 ) in .

Nur zur Info :

Mit dem bei der Definition der ÄR meine ich natürlich , dass ( , ) in Relation zu ( , ) stehen soll.


Meine bisherige Lösung


Also zu zeigen, dass dadurch eine ÄR definiert wird ist mir sehr leicht gefallen. Dazu muss halt Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gelten.

Reflexivität

( , ) ( , )

Dafür muss

² + ² = ² + ²

erfüllt sein, was es hier natürlich trivialerweise ist. Freude

Symmetrie

( , ) ( , )

Daraus soll folgen,dass

( , ) ( , )

Also muss gelten :

² + ² = ² + ²

² + ² = ² + ²

Auch das ist erfüllt. Freude

Transitivität

Dafür benötige ich noch ein

( , )

Denn, wenn

( , ) ( , )

und

( , ) ( , )

gilt , dann soll daraus folgen :

( , ) ( , )

Auch das ist erfüllt, es aufzuschreiben erspare ich mir an dieser Stelle einmal,solange es niemand noch explizit sehen möchte. Augenzwinkern

Nun komme ich aber zu dem für mich sehr schwierigen Teil.

Ich soll ein vollständiges Repräsentantensystem angeben und dann noch die Äquivalenzklasse des Punktes ( 3 , 4 ) skizzieren.

Ich habe aaaaaaaaaaabsolut keine Ahnung, was ich da jetzt mchen muss.

Wir haben leider nicht allzuviel zum RS gemacht.
Wir haben lediglich eine Definition aufgeschrieben und dann ein Beispiel zu einem RS gegeben bekommen.

Definiert haben wir ein RS wie folgt :

Sei ( M , ) eine ÄR.
Eine Teilmenge V M heißt "vollständiges Repräsentantensystem" der ÄR ,
wenn es genau ein gibt
mit .

Als Beispiel hatten wir ein vollständiges Repräsentantensystem auf der Menge .

Das war dann V = [ 0 , 1 )


Ich habe mir gedacht , dass die Ä-Klasse des Punktes ( 3 , 4 ) vielleicht einfach nur das Einsetzen von diesen beiden Werten in die definierte Ä-Relation bedeutet?
Also halt 3 ² + 4 ² und dann wäre die Äquivalenzklasse 25. Aber bestimmt nicht richtig. verwirrt

Kann mir das bitte jemand erklären , ich sitze auf dem Trockenen hier. traurig
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Nachweis für die ÄR sieht soweit aus, als ob du das verstanden hast.
Kommen wir zum "Eingemachten":

Fange mal mit der Aufgabe an, die Äquivalenzklasse von (3/4) zu bestimmen bzw. zu skizzieren. Was muss ein Paar (x/y) also erfüllen, so dass (x,y) ~ (3,4) ist?
Ich wähle dabei schon gezielt x und y als Variablen, um dich in die Richtung zu schubsen, das Ganze als eine Funktion y = y(x) aufzufassen. Wie sieht diese aus?

air
@ Moderatoren: Ich verlinke gezielt nicht (ihr wisst schon wohin); das sollte vielleicht lieber getrennt voneinander bearbeitet werden.
 
 
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ( x , y ) zu ( 3 , 4 ) sein soll müsste ja erfüllt sein :

x ² + y ² = 3 ² + 4 ²

Also x ² + y ² = 25

Da komme ich jetzt irgendwie nicht weiter , weil es halt unendlich verschiedene Lösungsmöglichkeiten für diese Gleichung gibt.


Habe gerade erst das andere Thema entdeckt , daher hat sich das hier schonmal erledigt und ich mache vielleicht in dem anderen Thread mit. ^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

x² + y² = 5²

Soweit ist das absolut korrekt.
Interpretiere das nun mal so, dass (x/y) ein Punkt in einem Koordinatensystem ist. Was für eine geometrische Figur beschreibt diese Gleichung dann?

Solltest du der Gleichung nicht direkt ansehen, was für eine Figur das ist, so löse mal nach y auf. Du bekommst y in Abhängigkeit von x, also y(x) = ... - und das nennt man gemeinhin "Funktion".

Kleine Anmerkung: Du musst an einer Stelle die Wurzel ziehen, was dir zwei Lösungen bescheren wird. Lass bloß keine unter den Tisch fallen. Diese Gleichung lässt sich nicht mit einer einzelnen Funktion beschreiben, sondern du brauchst dafür zwei Funktionen (die du beim Auflösen nach y erhältst).

Edit: Schade! Ich wollte nicht, dass du den anderen Thread siehst. Dort siehst du nun alles vorgekaut und hast letztlich nichts davon. Nur selber lösen bringt dich weiter. Aber das musst du wissen. Augenzwinkern
Im Studium habe ich nichts gegen "Abschreiben". Studenten müssen selber wissen, wie sie vorgehen sollten und wie weit sie damit kommen! smile

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Naja den Rest hätte ich mir jetzt auch selber innerhalb von 2 Mnuten gedacht. Augenzwinkern

Also von daher ist das schon OK so.

Versuche mir gerade deine angedeutete Menge vorzustellen. ^^

Edit :

Also Tangenten würden mir natürlich als erstes einfallen , wenn nur ein Schnittpunkt mit dem Kreis vorhanden sein soll.
Allerdings macht mir der beliebige Radius da ja einen Schnitt durch die Rechnung.

Ist es dann also vielleicht eine Menge an Tangenten?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da du nun im anderen Thread gelesen hast verlinke ich der Vollständigkeit halber noch zu dem Thread:

Äquivalenzklassen,Repräsentantensystem

Edit:

Nein, du willst ja eine Menge für alle möglichen Kreise. Eine Tangente für alle Kreise zu finden dürfte schwer sein .. um nicht zu sagen: Unmöglich. Augenzwinkern
Nimm dir aus jedem Kreis doch mal genau einen einzigen Punkt. Und zwar so, dass diese Punkte möglichst "trivial" in einer geometrischen Form liegen. Was bietet sich da an?

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde mir halt einfallen , aus jedem Kreis einen Punkt zu nehmen und die am Besten in einer Reihe.Also bilde ich halt doch wieder eine Gerade , zum Beispiel x = y?


Edit

Obwohl ne , dann hätte diese Gerade ja 2 Schnittpunkte mit den Kreisen. ^^
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, das ist ein guter Anfang Freude

Jetzt haben wir noch ein Problem:
Eine Gerade schneidet jeden dieser Kreise (bis auf den mit Radius Null) blöderweise gleich zweimal. Wir müssen also etwas von der Gerade weglassen. Was lassen wir weg und was behalten wir? Augenzwinkern

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also lassen wir unsere Gerade erst ab dem Kreismittelpunkt starten und gehen halt in eine beliebige Richtung?

Und der Kreismittelpunkt ist natürlich 0.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Wie nennen wir ein solches Objekt geometrisch und wie kannst du es beschreiben?

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich bin mir gerade nicht sicher worauf du hinaus willst , aber vielleicht , dass das Ding ein Vektor ist?

Und beschreiben würde ich es dann halt mit

+ *
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ... ein Vektor ist was völlig anderes!

Ich spreche hier von einem Begriff, den du das letzte Mal vielleicht in der Unterstufe gehört hast: Eine Halbgerade. Augenzwinkern

Und beschreiben können wir die viel einfacher: y = x mit x >= 0.
Allerdings wollen wir die lieber in Mengenschreibweise angeben. Wie kann man diese (oder eine andere Halbgerade die im Ursprung beginnt) in einer Menge beschreiben?

Ist dir übrigens auch klar, warum eine Halbgerade ein vollständiges Repräsetantensystem ist? Gehe mal die Definition des vollst. R.-Systems wörtlich durch und überlege dir, inwiefern es erfüllt ist.

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß auf jedenfall , dass ein v RS aus jeder ÄK genau ein Element enthalten soll.

So als hätte man eine Schule und für jede Klasse gäbe es einen Sprecher.
Die Zusammenkunft all dieser Sprecher wäre halt das voll. RS.
Dank diesem guten Beispiel konnte ichs mir relativ gut merken. ^^

Wie das als Menge aussieht. Hmmm.


VRS sei nun diese Menge.

VRS = { | x = y ; x 0 }
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder du meintest (x y) oder die Bedingung x=y ist überflüssig.
Auf jeden Fall stimmt es so.

Überprüfen wir doch mal, ob das Ganze Sinn macht.
Wenn das ein vollst. RS ist, so muss jeder beliebige Punkt in einer Äquivalenzklasse eines Elements vom RS liegen.

Anschaulich: Nehmen wir uns einen beliebigen Punkt P im Koordinatensystem. Wir können dann den Kreis zeichnen, der durch diesen Punkt P geht und den Ursprung als Mittelpunkt hat. Die Gerade y=x hat dann für x>=0 genau einen Schnittpunkt S mit diesem Kreis.
Dieser Schnittpunkt ist ja gerade das eine Element aus unserem RS. Und da dieser auf dem Kreis liegt, muss der Punkt P in der Äquivalenzklasse des Schnittpunkt S liegen, also P € [S]. Genau das wollten wir ja.
Wir finden also zu einem beliebigen Punkt P auf jeden Fall (genau!) ein Element aus unserer Menge, so dass P in der Ä.-Klasse von diesem Element liegt.

Anstatt mit Schnittpunkten können wir das RS auch so charakterisieren:
Aus jedem nur denkbaren Kreis brauchen wir genau ein Element (eben einen Repräsetanten). Die Menge dieser Punkte ist unser RS. Die Menge der Punkte einer Halbgeraden mit dem Anfang im Ursprung erfüllt gerade dies; "Schnittpunkt" bedeutet dann ja nichts anderes, als dass die Äquivalenzklassen übereinstimmen.

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Oh , na klar meinte ich ( x , y ) Augenzwinkern

Cool , na dann tausend dank an dich !

Genau so stelle ich es mir vor , dass ich bis zur richtigen Lösung geleitet werde. smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Augenzwinkern

Ob mit "Ein vollst. RS angeben" übrigens ein formaler Nachweis gemeint ist, dass es auch wirklich ein solches ist, weiß ich nicht. Das kann man so und so auslegen. Manchen genügt das angeben des RS, andere wollen eben den Beweis.

Zumindest eine gute Veranschaulichung des Ganzen hast du ja.

air
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich habe nochmal eine Frage.

Als ich nochmal drüber nachdachte ist bei mir die Frage aufgekommen , woher wir eigentlich wissen, dass jede ÄK den Nullpunkt als Mttelpunkt haben wird.
Daran haben wir ja alles weitere angeknüpft.

Danke im vorraus.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Kreisgleichung lautet allgemein



mit Mittelpunkt (x0 / y0).
Bei uns ist offensichtlich x0=0 und y0=0
Unsere ÄR bedeutet also, dass Zahlenpaare in Relation stehen, wenn sie den selben Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung "erzeugen".
Da der Mittelpunkt eh fest ist, bedeutet "der selbe Kreis" hier also soviel wie "mit dem selben Radius". Es wird sozusagen dann gleichgesetzt.

air
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