Lineare Abbildungen, Spiegelung, Drehspiegelung, Verständnisfragen

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Tukkay Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen, Spiegelung, Drehspiegelung, Verständnisfragen
Hallo,

hab mich hier frisch angemeldet, weil ich zur Zeit ein kleines Problem bezüglich Matrizen habe. Sitze an Übungsaufgaben: Das Rechnen mit Matrizen fällt (im Moment) nicht so schwer, jedenfalls nicht bei den Übungsaufgaben diesbezüglich.

Wenn es aber um die geometrische Bedeutung von Matrizen geht, dann hakt es bei, denn bei den entsprechenden Übungsaufgaben habe ich Schwierigkeiten:

Bin Chemiestudent, und dementsprechend sind die Aufgaben nicht "hochmathematisch":

Im Folgenden sollen Matrizen betrachtet werden und ihre geometrische Bedeutung angegeben werden.

Da mit dem Formeleditor in der Vorschau nur die Codes angezeigt werden habe ich es bei der Matrizendarstellung versucht es möglichst nach Matrizen aussehen zu lassen.

a)

(-1 0 0)
(0 -1 0)
(0 0 1)

Bei dieser Matrix habe ich einfach diese Transformationsmatrix (nennt man die so? habe ich jedenfalls im Papula Band 2 gelesen) mit einem Vektor multipliziert (x,y,z) und bin zum Ergebnis gekommen, dass folgende Abbildung entsteht:

(-x,-y,z)

Daraus folgt: Es findet eine Spiegelung an der z-Achse statt, da
x->-x
y->-y
z->z

b)

(0 0 1)
(1 0 0)
(0 1 0)

Bei dieser Matrix bin ich einfach wie bei a) vorgegangen:

(z,x,y)

Daraus folgt: Es findet eine Drehung um die y-Achse statt, dann eine Drehung um die x-Achse, da
x->z
y->x
z->y

--> aber ab hier stoß ich an die Grenzen meines Vorstellungsvermögens.

c)
(2 -1 -1)
(-1 2 -1) *1/3
(-1 -1 2)

(Anmerkung: Die Matrix wird mit 1/3 multipliziert)

Hierzu kann ich im Moment nur vermuten: Es könnte eine Projektion sein, jedenfalls wurde in der Vorlesung eine Projektion beiläufig erwähnt (es wurde nicht näher darauf eingegangen).


Wo liege ich hinsichtlich der geometrischen Bedeutung dieser Matrizen vollkommen falsch bzw. gibt es eine simplere Möglichkeit sich diese Transformationsmatrizen vorzustellen? (besonders zu c)
Es soll ja nichts mit komplizierten Rechnungen belegt werden, sondern die geometrische Bedeutung erkannt werden. Bei a) und b) habe ich einfach mit einem Vektor multipliziert.
Bei c) werd ich aber der geometrischen Bedeutung nicht bewusst, sondern kann nur raten.

Würde mich auf etwas Hilfe freuen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen, Spiegelung, Drehspiegelung, Verständnisfragen
Es ist ein gewissen Gefühl für Matrizen von Vorteil. Klassikern ist erstmal die Einheitsmatrix. Damit es noch anschaulich geht, bleiben wir im IR³.



Nun kann man mit der ja erstmal ein wenig spielen. Zum Beispiel Spalten vertauschen. Das kannst du dir dann mal aufmalen (Typ b) bei dir. Da wir im Thema "Spiegelung und Drehung" sind, schau mal hier rein:

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale...he_Entsprechung
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehspiegelung


Zu deiner letzten Aufgabe:

Warum wurde 1/3 ausgeklammert? Wie lautet die Determinante? Wie lautet der Kern? Zur einfacheren Anschauung erstmal:

http://de.wikipedia.org/wiki/Projektion_...nale_Projektion
Tukkay Auf diesen Beitrag antworten »

a)

Determinante der Matrix ist 1. (Ich geh mal streng nach Wiki aus) Sie entspricht einer Drehung und ist eine Drehmatrix. Das Koordinatensystem wird bewegt und es handelt sich um eine Drehung um die z-Achse. Es findet eine Drehung um 180° statt (und das entspricht einer Spiegelung an der z-Achse so wie ich es ursprünglich angenommen hab oder eine Speigelung an der x,z-Ebene - hab mir die Drehung aufgezeichnet und wenn sich nur das Koordinatensystem bewegt könnte das mit der Ebene doch hinkommen).

Dabei ist alles Längen- und Winkeltreu.

b)

Determinante der Matrix ist 1. Drehmatrix mit 2 Drehungen. Das Koordinatensystem wird bewegt. Alles mit Längen- und Winkeltreue.

1. Drehung um y-Achse in der (x,z) Ebene
2. Drehung um x-Achse in (y,z)-Ebene

c)

Wenn in der Matrix alle Komponenten einen gemeinsamen Faktor haben, dann kann man diesen vor die Matrix ziehen. D.h. man kann die Matrix auf ihre wichtigste Funktion reduzieren, ohne dass was ko0mpliziertes in der Matrix steht. Denn ob ich den Faktor vor die Matrix zieh oder nicht ist egal, aber es hilft der Erkennung?

Determinante der Matrix ist 0. Ok, also weder Spiegelung, Drehmatrix, Drehspiegelung. Bleibt also nur die Projektion. Ist im Moment ein Ausschlussverfahren.

Also eine orthogonale Projektion auf eine Ebene E. Der Begriff "Kern" wurde in der Vorlesung nicht genannt. Gibt der Kern mir Aussage darüber, ob tatsächlich eine Projektion stattfindet/stattfinden kann?


Was mir noch wichtig ist:

Bei a) und b) ist die geometrische Deutung, ob ich sage dass es ein festes Koordinatensystem gibt und eine Spiegelung stattfindet genauso gut wie wenn ich sage, dass sich nur das Koordinatensystem bewegt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
2:
3:
(-1  0 0)
( 0 -1 0)
( 0  0 1)


Die Matrix ist orthogonal, denn AA' = I. Die Determinante ist 1, also ist es eine Drehmatrix. Die z-Achse wird festgelassen, (0,0,1)' ist Basis des zu 1 gehörenden Eigenraums. Um diese Achse wird auch gedreht. Schaun wir in die Teilmatrix

code:
1:
2:
(-1  0 )
( 0 -1)


Daraus lesen wir dann den Drehwinkel von pi=180° ab. Das ist aber keine Spiegelung! Du kannst es aber als Verknüpfung von 2 Spiegelungen darstellen. Das ist aber was anderes.

Langen und winkeltreu ist richtig. Wegen der Drehung auch orientierungstreu.

Vielleicht macht bei den anderen Teilaufgaben jemand anderes weiter. Für heute ist bei mir Schluss. Wink
Tukkay Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe.

Wie siehts denn bei b) aus? 2 Drehungen des Koordinatensystems würden sich zwar nicht mehr mit meinem Ergebnis aus dem ersten Post decken, aber so finde ich es jetzt besser.

1) Drehung um 90° um y-Achse in der (x,z)-Ebene.
2) Dann eine Drehung um x-Achse um 90° in der (y,z)-Ebene.

D.h. eine Vektor (x,y,z) hat nun die Koordinaten (y,z,x).

-> Hab mir die zwei Drehungen aufgezeichnet. Da wo die x-Achse war ist jetzt die y-Achse, da wo die y-Achse war ist jetzt die z-Achse, da wo die z-Achse war ist nun die x-Achse.

Meiner Meinung nach plausibel, oder ist das jetzt total falsch gedacht?
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