Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel

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crosell Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Meine Frage:
Ich bins nochmal,

hab hier nur noch ne Kleinigkeit bei der mir grad nicht so das passende einfällt. Ich habe die Zahlengerade mit der Metrik:


gegeben.

Dazu sollte gezeigt werden, dass nicht vollständig ist. Dies habe ich bereits gezeigt. Nun soll noch eine abgeschlossene beschränkte Menge (damit also ein abgeschlossenes Intervall) angegeben werden, dass nicht kompakt ist.

Meine Ideen:
Hab mich etwas mit versucht aber so richtig wills nicht gelingen, wahrscheinlich seh ich wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht. Ein kleiner Tipp würde schon genügen denke ich.

Grüße Crosell
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Hallo!

Vermutlich muss man sich das erstmal genauer vorstellen, also:

was genau sind jeweils die beschränkten, offenen, bzw. abgeschlossenen Mengen in diesem Raum?

Wenn das klar wäre, könnten wir genauer hinschauen.

Steht das mit dem abg. Intervall in der Aufgabe oder ist das von dir?

Grüße Abakus smile
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Hmm also das mit dem Intervall war ich. verwirrt Ich vermute mal die Metrik lässt die Aussage, dass ein abgeschlossenes Intervall im üblichen Sinne, dann abgeschlossen ist nicht zu, nicht wahr? Darüber habe ich nämlich noch gar nicht nachgedacht.

Du fragtest nach beschränkten Mengen usw. Tja also die Metrik lässt ja überhaupt erstmal nur "Abstände" zu die maximal werden. Dass bringt ja schonmal einiges durcheinander, was in der normalen euklidischen Metrik noch Gültigkeit hätte. Z.b. könnte ich theoretisch eine Kugel konstruieren mit:



, ich habs mir jetzt nicht aufgeschrieben, aber das erscheint mir logisch.

Grüße smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Also beschränkt wäre dann jede Menge, was die Bedingung dann überflüssig macht. Hilft das schon weiter?

Grüße Abakus smile
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Ich bin mir nicht ganz sicher um ehrlich zu sein. Soweit ich das aus meinen Vorlesungsunterlagen ersehen kann, jedes Intervall in diesem speziellen metrischen Raum abgeschlossen und beschränkt, da ich eben immer um einen Punkt x_0 aus dem Intervall so eine Kugel legen könnte, s.d. der Intervall beschränkt als ist sowie alle Punkte (also auch die Häufungspunkte) des Intervalls enthält und damit eben abgeschlossen und beschränkt ist.

Es kommt also nicht auf den speziell gewählten Intervall an, sondern nur darauf, dass ich eine Folge finde, die eine Teilfolge hat, die keinen Grenzwert in dem gewählten Intervall besitzt. Dann wäre diese Menge wenn ich das richtig sehe nicht kompakt.

Obwohl jetzt wo ich das hier so schreib Idee! . Ich kann ja prinzipiell gleich den ganzen Zahlenstrahl nehmen, für den würde ja das gleiche gelten, d.h. er wäre abg. und beschränkt, aber ich kann eine Cauchy-Folge finden die in dieser Menge keinen Grenzwert hat, denn das war genau der Beweis dafür, dass (R,d) nicht vollständig ist. Habe ich es etwa hier damit zu tun, dass ich hier von der nicht vollständigkeit auf die nicht Kompaktheit schließen kann, dass ist i.A. nicht möglich, aaber Ausnahmen bestätigen ja die Regel nich?

Was sagst du Abakus.

Wink
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Du hast eine Folge, die keine konvergente Teilfolge enthält? Gut, dann weißt du, dass der Raum nicht folgenkompakt sein kann.

Wenn du zusätzlich wüsstest, dass folgenkompakt und kompakt in metrischen Räumen dasselbe sind, wärest du fertig. Oder hattet ihr eine Definition der Kompaktheit mit Folgen gehabt, das würde auch helfen?

Ansonsten spiele es auf die Grundlagen, d.h. die Überdeckungseigenschaft zurück (und dazu müsstest du erstmal die offenen Mengen kennen).

Grüße Abakus smile
 
 
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Unsere Definition für Kompaktheit war:

Sei ein metrischer Raum, dann ist M kompakt falls:

-
bzw.
- kompakt falls:



und genau auf zweiteres bzw. da ganz R mit dieser metrik abgeschlossen ist ersteres spielte ich vorhin an, als ich meinte ich hab ne Cauchy-Folge die nicht konvergiert, diese ist auch so einfach konstruiert, dass ich ausschließen kann, dass dort eine konvergente Teilfolge existiert.

Im Prinzip wäre ich dann ja eigentlich fertig, wenn ich auf die Folge in dem ersten Aufgabenteil Hinweise. Hmm ?!

Ach und offene Mengen, also fällt mir grad nix zu ein. Vllt. einpunktige Mengen? Ich hab ja schon festgestellt, dass jedes beliebig gewählte Intervall abgeschlossen und beschränkt ist, was ist dann offen, doch nur die leere Menge und R selbst, per Definition oder?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Zitat:
Original von crosell
Im Prinzip wäre ich dann ja eigentlich fertig, wenn ich auf die Folge in dem ersten Aufgabenteil Hinweise. Hmm ?!

Ach und offene Mengen, also fällt mir grad nix zu ein. Vllt. einpunktige Mengen? Ich hab ja schon festgestellt, dass jedes beliebig gewählte Intervall abgeschlossen und beschränkt ist, was ist dann offen, doch nur die leere Menge und R selbst, per Definition oder?


Ja, eure Kompaktheit ist genau die Folgenkompaktheit dann; und so könntest du es lösen, denke ich.

Offen ist sicher jedes Komplement einer abgeschlossen Menge erstmal. Enthalten einpunktige Mengen hier offene Kugeln?

Grüße Abakus smile
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Okay sicherlich jedes Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen. Also immer das Komplement eines beliebig gewählten Intervalls wäre dann offen. Einpunktige Mengen, naja eine Kugel um eine einpunktige Menge auf dem Zahlenstrahl, da kann ich den Radius noch so klein machen, ich finde dennoch unendlich viele Punkte um den Punkt herum, aaber ich denke nicht das diese Häufungspunkte sind, denn ich kann um die umliegenden Punkte denke ich nicht beliebig kleine Kugel konstruieren, die dann noch den einen Punkt enthalten und andere Punkte aus dem Komplement. Das war auch eher nur so ein Einwurf, dieses Thema ist noch relativ jung und ich muss da noch sicherer werden mit den Begrifflichkeiten Offenheit, Abgeschlossenheit usw., es ist auch nicht das einfachste Thema unbedingt, da es doch wirklich unterschiedlichste Definitionen für ein und dasselbe Element gibt. Wenn ich allein an Stetigkeit einer Funktion im R^n denke. Wäre aber für Aufklärung dankbar.

Ich mach das jetzt mit der Folgenkompaktheit und wähle K=R.

Grüße Crosell smile

Danke Abakus Wink
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Startpunkt bei den offenen Mengen könnten die offenen Kugeln sein: die sind ja irgendwie nicht symmetrisch, sondern für zB x > 100 (relativ groß) liegt die rechte Grenze einer Kugel um x viel weiter von x weg als die linke. Einige solcher Kugeln sind sogar halboffene Intervalle einfach.

Jetzt müsste man schauen, was bei endlichen Durchschnitten solcher Kugeln und dann bei beliebigen Vereinigungen passiert: das wären dann alle offenen Mengen.

Grüße Abakus smile
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Musste erstma nachvollziehen wie du das mit den deformierten Kugeln meinst, aber klar der arctan besorgt dass, umso weiter ich auf der Zahlengerade nach rechts gehe, umso mehr entfernt sich der rechte Rand einer beliebigen Kugel um ein großes x, analog für sehr kleines x dann der linke Rand der abhaut. Dass man im R dann auch öfter halboffene Intervalle bekommt ist klar denk ich. Aber wie ich mir jetzt ne endlichen Durchschnitt bzw. eine beliebige Vereinigung dazu vorstellen soll bleibt mir erstmal schleierhaft.

Aus der VL weiß ich nur, dass gilt:



und



aber zugegeben so richtig bin ich da noch nich hinter gestiegen. Ich mein ich versteh schon schon was da steht. Aber nehmen wir z.B. mal unsere Beispiel hier, dann müsste ich das jetzt mit beliebigen offenen Kugeln machen und Ziel wäre dann die Gesamtheit der offenen Mengen darzustellen. Dir ging es um Überdeckungskompaktheit Abakus nicht wahr? Ah ich habe grad in meinen VL-Aufzeichnungen noch ein größeres Konstrukt zur Kompaktheit gefunden, stimmt das kam später. Und zwar einen Satz nach Haussdorff, der Äquivalenzen zwischen Folgenkompaktheit, Präkompaktheit, Überdeckungskompaktheit und der Durchschnittseigenschaft einer Teilmenge eines Metrischen Raumes herstellt.
Du sprichst also darauf an, dass man eine offene Überdeckung finden müsste, die keine endliche Teilüberdeckung hat richtig?

verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrischer Raum mit "arctan-metrik" Beispiel
Zitat:
Original von crosell
Du sprichst also darauf an, dass man eine offene Überdeckung finden müsste, die keine endliche Teilüberdeckung hat richtig?


Ja, das ist die allgemeinste Definition und damit der Ausgangspunkt, solange nicht dazu Äquivalenzen bekannt sind.

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir mal, ob für die Menge ganz IR in Frage käme. Überleg dir weiterhin, ob ein herkömmliches offenes Intervall auch d-offen ist. Wenn beides zu bejahren ist, bedecke IR halt mit unendlich vielen offenen Intervallen. Kannst du dir aus denen eine endliche Anzahl auswählen, die IR immernoch überdeckt? Ich denke nein. Augenzwinkern
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen Leute Wink

So hab mir eure Eingebungen überlegt und v.a. nochmal den Überdeckungsbegriff überdacht.

Ich nehme weil ich weiß, dass diese Menge abgeschlossen und beschränkt ist z.B. durch: . Wähle ich Kugeln der Gestalt: und soll ein beliebiger Punkt auf dem Zahlenstrahl sein, dann sind diese Kugeln offene Intervalle, denn offene Kugeln sind offen. Nun kann ich sagen, dass eine offene Überdeckung von R für hinreichend großes ist, das gelingt mit dieser speziellen Metrik auf jeden Fall. Wie nun WebFritzi schon sagte, kann ich mir eine endliche Folge von solchen Kugeln suchen z.B. (nur mal so zur Anschauung), wobei dafür sicherlich gilt aber die Umkehrung nicht.

Ich habe also eine Überdeckung von gefunden, die keine endliche Teilüberdeckung hat, somit ist die Menge nicht Überdeckungskompakt denn es muss ja für jede offene Überdeckung so eine endliche Teilüberdeckung geben, wie hier anschaulich widerlegt.

Ich bin gespannt auf euer Feedback. Habe ich die Überdeckung jetzt hier richtig angewendet?

Grüße Crosell smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crosell
Nun kann ich sagen, dass eine offene Überdeckung von R für hinreichend großes ist


Das ist Unsinn. Schon allein das macht keinen Sinn. Du meinst einfach "1". Weiterhin ist Quatsch. Denk mal drüber nach, warum. Du meinst Anders ausgedrückt: ist eine offene Überdeckung von . Und auch nicht "für hinreichend großes i". Wenn du mit einem "hinreichend großen i" aufhörst, dann ist es doch noch keine Überdeckung.


Zitat:
Original von crosell
Wie nun WebFritzi schon sagte, kann ich mir eine endliche Folge von solchen Kugeln suchen z.B. (nur mal so zur Anschauung), wobei dafür sicherlich gilt aber die Umkehrung nicht.


Auch das drückst du viel zu kompliziert aus. Was du hier sagen willst, ist eine Trivialität, die man fast nebenbei bemerken kann: "Ganz offenbar überdeckt jedes endliche Teilsystem von nicht die Menge IR." Oder so ähnlich.

Übrigens ist es nicht beliebig, wie du die wählst. Wenn du z.B. für alle i wählst, dann bekommst du nicht die Überdeckungseigenschaft. In deinem Text hast du aber indirekt angedeutet, wie man wählen könnte. Dann tu das einfach auch. Es ist auch eine "konzentrische Wahl" möglich. Das erleichtert das Formulieren ein wenig.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mit Überdeckungen noch nicht gearbeitet, da kommt es schon noch zu Ungenauigkeiten. Ja ich meinte genau die Vereinigung dieser Kugeln als offene Überdeckung, mit der Schreibweise war ich mir nicht so ganz sicher. Und es ist auch richtig, dass ich natürlich meine eigene Aussage widerlege, wenn ich den Index endlich annehme mit so Aussagen wie "für hinreichend großes", in der von dir gegebenen Form sind ja alle Indizes gemeint und nicht nur hinreichend viele, dass sollte das eigentlich verdeutlichen. Ebenfalls wollte ich Kugeln mit Radius eins, der Indize an der Kugel sollte sozusagen verdeutlichen, dass die Kugeln verschieden sind, aber das macht ja schon das von daher quatsch (gemerkt).

Das ich den nächsten Punkt zu kompliziert ausdrücke liegt einfach nur daran, dass ich manchmal noch nicht mutig genug bin, Trivialitäten auch als solche anzusprechen. Ich bin erst im 2. Semester, da tut man sich noch echt schwer damit Sätze wie "wie man offensichtlich sieht", "leicht ist zu erkennen", "trivialerweise" usw. in einen Text einzubauen, denn verständlicherweise wollen unsere Korrektoren sowas nicht unbedingt lesen (ich weiß ja selbst das das trivial ist).

Und an anderer Stelle schreibe ich dann wieder zuwenig, ich wollte nämlich den Satz mit den noch ergänzen um für , aber da dachte ich dann wieder, dass es ja offensichtlich ist, dass man gerade nicht die gleichen x_i wählt.

Am besten wäre wohl die Wahl eines festen Startpunktes auf dem Zahlenstrahl also ein und wie du schon sagtest konzentrisch. Reicht es das zu auszuformulieren für die Wahl der x_i. In der Art Sei .

Ich denke mit dieser Wahl und einer sauberen Formulierung des bisher festgestellten, sollte die Überdeckungskompakt nun wirklich wiederlegt sein. Da das mit der Teilüberdeckung wirklich offensichtlich ist, werde ich das dann auch so niederschreiben.

Grüße Crosell smile
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