Verschoben! Problem bei Beweis zum Binomischen Lehrsatz (Induktion)

01.05.2010, 15:49

analysis1

Problem bei Beweis zum Binomischen Lehrsatz (Induktion)

Meine Frage:
Ich habe die Formel:
$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3})^{n}+(1-\sqrt{3})^{n} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass für jedes n (Element der natürlichen Zahlen) eine natürliche Zahl heraus kommt. Dazu soll der Binomische Lehrsatz angewandt werden.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich den Binomischen Lehrsatz angewandt und bin damit auf die folgende Formel gekommen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(\sqrt{3})^{k} + \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(-\sqrt{3})^{k} \end{eqnarray*}$

Für den Fall, dass k eine ungerade Zahl ist, kann man Wurzel 3 kürzen und dadurch wird der zweite Term negativ und man bekommt am Ende Null heraus, also eine (je nach Ansicht) natürliche Zahl.

Wenn k gerade ist bekommt man (Wurzel 3 gekürzt):
$\begin{eqnarray*} 2\sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} \end{eqnarray*}$

Aber wie beweist man nun, dass alle Ergebnisse natürlich sind? Mit dem Auge sieht man das ja sofort. Es werden nur natürliche Zahlen reingestekct, man kürzt die Wurzeln weg und hat auch keine Division, also können nur natürliche Zahlen raus kommen. Aber das beweisen?

Danke für die Tipps im voraus.

01.05.2010, 16:36

klarsoweit

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RE: Problem bei Beweis zum Binomischen Lehrsatz (Induktion)

Zitat:

Original von analysis1
Zuerst habe ich den Binomischen Lehrsatz angewandt und bin damit auf die folgende Formel gekommen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(\sqrt{3})^{k} + \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(-\sqrt{3})^{k} \end{eqnarray*}$

Der Summationsindex beginnt bei Null. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(\sqrt{3})^{k} + \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k} *(-\sqrt{3})^{k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von analysis1
Es werden nur natürliche Zahlen reingestekct, man kürzt die Wurzeln weg und hat auch keine Division, also können nur natürliche Zahlen raus kommen. Aber das beweisen?

Das ist im Prinzip der Beweis. Du mußt halt die Überlegungen nur sauber nachvollziehbar aufschreiben. smile

01.05.2010, 19:08

analysis1

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Das ist ja die zentrale Frage. Die Tatsache, dass es so ist und die ursprüngliche Aussage wahr ist, ist offensichtlich.

Mit welchem Syntax kann ich diesen Sachverhalt mathematisch darstellen. Das in Worte zu fassen ist ja kein Problem. Aber das in mathematisch zu schreiben.

Gibt es dazu evtl noch einen Tipp?

01.05.2010, 21:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von analysis1
Das ist ja die zentrale Frage. Die Tatsache, dass es so ist und die ursprüngliche Aussage wahr ist, ist offensichtlich.

Mit welchem Syntax kann ich diesen Sachverhalt mathematisch darstellen. Das in Worte zu fassen ist ja kein Problem.

Dann mach das doch einfach mal. Wenn du dich dabei präzise ausdrückst, ist das ein ordentlicher Beweis.

01.05.2010, 21:11

Friedhelm

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Kann man das nicht mit vollständiger Induktion beweisen?

02.05.2010, 00:11

WebFritzi

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Ich sehe nicht, wie das gehen sollte. Du?

02.05.2010, 01:16

Mystic

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Viele Wege führen noch Rom, z.B. auch die Verwendung von

$\begin{eqnarray*} (1 \pm \sqrt 3)^n=2(1 \pm \sqrt 3)^{n-1}+2(1 \pm \sqrt 3)^{n-2} \quad \forall n \ge 2 \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber ehrlich gesagt keinen, der leichter wäre als der Weg, der schon in der Aufgabenstellung vorgeschlagen wurde...

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