Äußeres Tensorprodukt zwischen einem Vektor und einem Tensor

01.05.2010, 21:37	ToMmY-Student	Auf diesen Beitrag antworten »
Äußeres Tensorprodukt zwischen einem Vektor und einem Tensor Meine Frage: Hey wäre hammer wenn jemand mir mit folgendem Problem helfen könnte... Aufgabe: Gegeben ist ein Tensor T und ein Vektor u Bestimmen sie das äußere Tensorprodukt zwischen dem Vektor u und dem Tensor T (Die Beziehung c x (a $\begin{eqnarray} \otimes \end{eqnarray}$ b)=(c x a) $\begin{eqnarray} \otimes \end{eqnarray}$ b bestätigt das Ergebnis.Warum? Gegeben ist der Tensor:T $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 6 & 21 & -3 \\ 4 & 14 & -2 \\ 12 & 42 & -6 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ und der Vektor: u $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand dann die Rechenschritte einzeln aufzeigen... ich hab schon ewig gesucht,komm aber auf keine Lösung... danke schonmal im Vorraus M.f.G. Meine Ideen: Ich habe schon überlegt, dass Kreuzprodukt zwischen Tensor und Vektor zu bilden.Aber selbst hierbei stoß ich auf Probleme... habe also absolut keine Vorstellung^^
02.05.2010, 01:43	a1stein.gn8	Auf diesen Beitrag antworten »
äußere Tensorprodukt Moin Das äußere Vektorprodukt ist in Basisnotation gegeben als: $\begin{eqnarray} u \times T = e_{ijk} u_{j} * t_{kt} (e_{i} \otimes e_{t}) \end{eqnarray}$ Sieht ersteinmal etwas verwirrend aus, ist aber im Endeffekt gar nicht so schwer. Das Ergebnis ist also wieder ein einfacher Tensor (als 3x3 Matriz darstellbar) Um auf die einzelnen Einträge zu kommen empfehle ich erstmal die Indizes i und t (laufen von 1-3) einzusetzen. Auch die übrigen Indizes laufen hier von 1-3 Dabei ist zu beachten das über doppelte Indizes summiert wird ( Einsteinsche Summenkonvention) Auch kann man sich die Arbeit erleichtern, wenn man beachtet, dass $\begin{eqnarray} e_{ijk} \end{eqnarray}$ (Levi-Civita-Permutationssymbol) nur für zyklische und antizyklische Indizes überhaupt Werte annimmt (1 bzw. -1) Sei A der Lösungstensor, so ist z.B. der erste Eintrag $\begin{eqnarray} a_{11}= e_{1jk} * u_{j} * t_{k1} (e_{1} \otimes e_{1})= e_{123} * u_{1} * t_{31}+e_{132} * u_{3} * t_{21} (e_{1} \otimes e_{1}) = 1 * u_{1} * t_{31}+ (-1) * u_{3} * t_{21} (e_{1} \otimes e_{1}) \end{eqnarray}$ Bitte verbessert mich, wenn ich Grütze rede, bin grad auch nicht mehr ganz in der Materie drinne über den Anhang dürfen sich andere den kopf zerbrechen gruß Nöls
02.05.2010, 14:43	elmexXx09	Auf diesen Beitrag antworten »
ahoi, mal ne kurze frage, müsste das nicht am ende heißen: ..... = e123 * u2 (nicht u1) * t31 + e132 * u3 * t21(e1 Dy. e1) = 1 * u2(nicht u1) * t31 +(-1) * u3 * t21 (e1 Dy. e1) wenn nich, bitte um aufklärung...
02.05.2010, 15:14	a1stein.gn8	Auf diesen Beitrag antworten »
jup sorry, du hast recht, da hab ich einen Zahlendreher drin ..... is ja doof, dass man seinen Beitrag nur 15 min nach posten noch editieren kann
02.05.2010, 15:18	elmexXx09	Auf diesen Beitrag antworten »
ja egal... dann hab ichs auf jeden fall verstaden... danke für die top erklärung...
02.05.2010, 15:49	ToMmY-Student	Auf diesen Beitrag antworten »
wie sieht jetz aber a12 aus? bin noch net so dahintergekommen^^ sry jungs heißt das allgemein eig in dem fall a(ij)?
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02.05.2010, 16:41	ToMmY-Student	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein, dass in diesem beispiel überall nur 0 rauskommt?
02.05.2010, 17:37	a1stein.gn8	Auf diesen Beitrag antworten »
nop im allgemeinen handelt es sich um $\begin{eqnarray} a_{it} \end{eqnarray}$ also für a12 setzte halt in die formel für i=1 und für t = 2 n tensor is ja iwie ne Art aufgeblasenes Skalarprodukt von 2 Vektoren und bei äußeren produkten man erinnere sich bei vektoren gilt ja b * ( b x c) = 0 das verhält sich bei dem äußeren tensorprodukt ähnlich, nur das halt ne nullmatrix rauskommt

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