Permutationsgruppe[latex] (S_{4},o)[/latex]

01.05.2010, 21:45	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsgruppe[latex] (S_{4},o)[/latex] Meine Frage: Hallo! =) Ich habe da eine Aufgabe aus LA 1 aber die permutationsgruppen bereiten mir doch Schwierigkeiten: Wir betrachten die Untergruppe U = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (habe leider diese < und > Klammern nicht gefunden, es soll ein Erzeuger sein) der Gruppe $\begin{eqnarray} (S_{4},o) \end{eqnarray}$ .Schreiben Sie alle Elemente von U auf. Meine Ideen: Ich finds nun relativ schwierig eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_{4} \end{eqnarray}$ zu finden, für die das oben ein Erzeuger ist..oder hab ich das falsch verstanden?Wäre für Hilfe echt dankbar, liebe Grüße Dominik
01.05.2010, 21:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U = \langle \alpha , \beta \rangle \ \ \text{mit} \ \ \alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \, , \ \ \beta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechne $\begin{eqnarray} \alpha^2 , \beta^2, \alpha \beta, \beta \alpha \end{eqnarray}$ . Das müssen ja auf jeden Fall Elemente von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sein (Abgeschlossenheit). Gibt es weitere? ( $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist die kleinste Untergruppe, die $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \end{eqnarray}$ enthält.)
01.05.2010, 22:01	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
alpha und beta ² ergeben doch id = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und alpa * beta bzw beta * alpha ergeben doch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder nicht?
01.05.2010, 22:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist's. Und jetzt erstelle eine Gruppentafel mit den vier Elementen $\begin{eqnarray} \varepsilon \ \text{(neutrales Element)}, \ \alpha, \ \beta, \ \gamma = \alpha \beta = \beta \alpha \end{eqnarray}$
01.05.2010, 22:16	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
und der Inhalt der Gruppentafel sind dann alle Elemente von U? Das wären dann 16 Elemente + die 4 (alpha,beta, gamma, und id)?so hätte ich das jetzt verstanden..vielen dank für deine mühe hilft mir echt weiter
01.05.2010, 22:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
16 Elemente? Nein, $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ hat viel, viel weniger Elemente.
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01.05.2010, 22:43	dobel100	Auf diesen Beitrag antworten »
ok die gruppentafel steht..und wie schließ ich jetzt auf die elemente in U?sind das nur die 4?bzw 5 wenn man alphabeta und betaalpha für sich nimmt
01.05.2010, 22:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du für $\begin{eqnarray} \varepsilon, \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray}$ die Verknüpfungstafel erstellst, erhältst du in der Tafel selber nur wieder diese Elemente. Damit bilden diese Elemente eine Gruppe (warum?). Sie ist die kleinste Untergruppe, die $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ enthält. Also besteht $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ tatsächlich nur aus diesen vier Elementen.

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