Elementargeometrie |
| 02.05.2010, 13:37 | 81sternchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Elementargeometrie Sei (E;G) eine Ebene, die die Axiome 1-11 erfüllt. Zeigen Sie: Jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises K(M; r) hat mit dem Kreis genau zwei Punkte A und B gemeinsam. M ist dabei Mittelpunkt von [AB]. Meine Ideen: Axiom 1: Es gibt mindestens 3 verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Axiom 2: Durch je zwei verschiedene Punkte A;B ? E geht genau eine Gerade g ? G. Axiom 3: Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte. Axiom 4: Auf jeder Geraden g ist eine Relation < definiert mit folgenden Eigenschaften: a) Für alle A ? g gilt nicht A < A. b) Seien A;B;C ? g mit A < B und B < C, dann gilt A < C. c) Für A;B ? g mit A ? B gilt entweder A < B oder B < A. d) Seien A;B ? g mit A < B, dann gibt es C;D;E ? g mit C < A < D < B < E. Axiom 5: Seien A;B;C Punkte, die nicht auf einer Geraden g liegen. Wenn die Gerade g eine der drei Strecken [AB], [BC] oder [AC] in genau einem Punkt schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere dieser drei Strecken. Axiom 6: Zwei Punkten A;B ? E kann man immer eine positive reelle Zahl ?AB? ? R>0 zuordnen, so dass a) ?AB? = 0 genau dann, wenn A = B, b) ?AB? = ?BA? für alle A;B ? E, c) ?AB? + ?BC? = ?AC?, falls A;B;C auf einer Geraden liegen mit A ? B ? C. d) Wenn C ? [AB], dann gilt ?AB? < ?AC? + ?CB? (Dreiecksungleichung). Axiom 7: Zwei verschiedene Kreise haben höchstens zwei gemeinsame Punkte. Es gibt genau dann zwei Schnittpunkte, wenn einer der Kreise sowohl innere als auch äußere Punkte des anderen Kreises enthält. Axiom 8: Es sei g eine Gerade, darauf betrachten wir eine Halbgerade h(Ag)mit Anfangspunkt A. Dann gibt es zu jedem l ? R>0 genau einen Punkt B ? h(Ag)mit |AB| = l. Axiom 9: Drei Punkten A;B;C ? E; die nicht auf einer Geraden liegen, ordnen wir einen Umlaufsinn bzw. eine Orientierung o(A;B;C) ? {1;-1} zu mit folgenden Eigenschaften: a) o(A;B;C) = o(A;B; C~), wenn C und C~ auf derselben Seite von (Strecke)AB liegen. b) o(A;B;C) = o(A; B~ ;C), wenn B~ auf dem Strahl [AB liegt. c) o(A;B;C) = -o(B; A;C) für alle A;B;C. d) o(A;C;B) = -o(A;B;C) für alle A;B;C. Axiom 10: Jedem Winkel ? lässt sich eindeutig eine reelle Zahl |?| ? [0; 360) zuordnen, so dass a) |? (ASA)| = 0 für alle S;A ? E mit S ? A b) | 
ASB)| = 180; falls A;B; S auf einer Geraden mit A < S < B liegen.c) Das Winkelmaß ist additiv, d.h. wenn ? und ? aneinander liegen und Gamma ihre ,,Vereinigung" ist, dann gilt |Gamma| = |?| + |?|. Axiom 11: Sei eine Halbgerade [SA und sei eine Zahl r ? [0; 360) gegeben, dann gibt es genau eine Halbgerade [SB mit |
A; S;B)| = r. |
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