Beweis Stetigkeit der Metrik

02.05.2010, 13:52

Bullet1000

Beweis Stetigkeit der Metrik

Hallo, ich ahbe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} (x_n),(y_n) \end{eqnarray*}$ zwei Folgen mit Grenzwerte $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ja mit Hilfe der Vierecksungleichung

$\begin{eqnarray*} d(x_n,y_n)\leq d(x_n,x)+d(y_n,y)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$

Kann ich wegen der Vertauschbarkeit des Grenzwertprozessen auf Stetigkeit schließen?

02.05.2010, 21:02

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} d(x_n,y_n)\leq d(x_n,x)+d(y_n,y) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, du hast etwas vergessen... Du nennst es ja nicht umsonst Vierecksungleichung.

Wenn du's wirklich nur vergessen hast, dann weisst du ja bereits, dass du ziegen solltest:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei $(x,y) \in X\times X$. Die Funktion $d: X\times X \rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig in $(x,y)$, wenn für eine beliebige, gegen $(x,y)$ konvergente Folge $(x_n,y_n)$ gilt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |d(x,y) - d(x_n,y_n)| \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 18:22

Bullet1000

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RE: Beweis Stetigkeit der Metrik
Oha, natürlich meinte ich

$\begin{eqnarray*} |d(x_n,y_n)-d(x,y)|\leq d(x_n,x)+d(y_n,y)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 18:48

gonnabphd

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Und was war denn nun deine Frage? Du hast ja schon gezeigt, dass es zu jedem Epsilon ein N gibt, so dass die Differenz der Funktionswerte kleiner als Epsilon ist für alle n>N verwirrt

03.05.2010, 18:56

Bullet1000

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Meine Frage war jetzt, ob das bereits ausreicht, um die Stetigkeit zu zeigen?

Aber theoretisch schon, denn ich habe ja gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} d(x_n,y_n)= d(\lim_{n \to \infty} x_n , \lim_{n \to \infty} y_n)=d(x,y) \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 19:22

gonnabphd

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Ja, das reicht natürlich. smile

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