Zahlentheoretisches

27.10.2006, 17:42	Menelaos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheoretisches Für welche Zahlen $\begin{eqnarray} m \in N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} log_{10}m \end{eqnarray}$ eine rationale Zahl? --- Meint ihr das reicht als Lösung bzw. ist das so richtig: Seien $\begin{eqnarray} m \in N \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} p,q \in Z : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} log_{10}m=\frac{p}{q} ~ \Rightarrow m= 10^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray}$
27.10.2006, 17:50	xrt-Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es richtig!
27.10.2006, 18:16	habac	Auf diesen Beitrag antworten »
und weiter: $\begin{eqnarray} m^q=10^p \end{eqnarray}$ also in Primfaktoren $\begin{eqnarray} p_1^q\cdot p_2^q\cdots p_k^q= 2^p\cdot 5^p \end{eqnarray}$ also muss $\begin{eqnarray} m^q \end{eqnarray}$ die Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray} 2^p\cdot 5^p \end{eqnarray}$ haben (wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) habac
27.10.2006, 18:40	Menelaos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das nicht unnötig? Aus $\begin{eqnarray} m= 10^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray}$ folgt ja schon, dass m eine Potenz/Wurzel von 10 sein muss (in Z).
28.10.2006, 04:19	habac	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn m eine natürliche Zahl ist, dann ist z.B. der Primfaktor 2 in einer Potenz r $\begin{eqnarray} (r\in N_0) \end{eqnarray}$ enthalten, in $\begin{eqnarray} m^q \end{eqnarray}$ also rq mal, also ist p ein Vielfaches von q und folglich p/q ganz. Also ist m=10^n mit $\begin{eqnarray} n\in N_0 \end{eqnarray*}$ .

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