Begründung; Eigenvektor - Nullvekor |
| 02.05.2010, 17:24 | Klausi111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Begründung; Eigenvektor - Nullvekor in unserem Skript steht, dass der Nullvektor kein Eigenvektor sein darf. Mir fehlt allerdings die Begründung... kann mir da jemand weiterhelfen? |
||||
| 02.05.2010, 17:27 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Seit wann muss man eine Definition begründen? Okay, die Frage, ob es sinnvoll ist - die kann man natürlich stellen! 
Überlege dir doch mal, was eigentlich passiert, wenn man die Null als Eigenvektor zulässt. air |
||||
| 02.05.2010, 17:30 | Klausi111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Frage genau die Frage stelle ich mir ja... nur die Antwort finde ich nicht 
|
||||
| 02.05.2010, 17:31 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die allgemeine beschreibende Gleichung ist ja Nehmen wir mal an, 0 sei Eigenvektor (und wir lassen das zu). Was passiert dann mit der Gleichung? air |
||||
| 02.05.2010, 17:39 | Klausi1111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dann wäre also v hätte unedliche viele Eigenwerte Lambda. Ich sehe da aber kein problem.... |
||||
| 02.05.2010, 17:43 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Vektor ist hier erstmal unnötig. Wir nennen das Nullelement einfach 0 und haben dann Eine Sache hast du jetzt erkannt: Es gäbe unendlich viele Eigenwerte. Nein, noch mehr: JEDER Skalar ist ein Eigenwert. Aber es geht noch weiter. Wir wissen ja, dass f eine lineare Abbildung ist. Wir wissen also, dass für eine geeignete Matrix A ist (sofern wir im Endlichdimensionalen sind). Und nun wollen wir die Null abbilden. Es ist aber , ganz egal, welche Matrix wir haben. 0 wäre also für jede(!) lineare Abbildung immer(!) ein Eigenvektor und hätte jeden(!) Skalar als Eigenwert. Sowas kann man nicht mehr sinnvoll nennen. (Anstatt mit dem Ax etc. zu argumentieren, reicht es auch, wenn du weißt, dass 0 immer im Kern einer linearen Abbildung liegt) air |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 02.05.2010, 17:59 | Klausi1111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, aber zusätzlich gäbe es doch weiterhin noch die anderen Eigenvektoren mit den dazugehörigen eigenwerten.... und wo ist denn genau das problem wenn der nullvektor immer eigenvektor ist. |
||||
| 02.05.2010, 18:43 | Klausi111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei linearen abb. wird doch unteranderem das nullelement auf das nullelement abgebildet. und es gibt doch zu jeder lin. abb. eine matrix die diese beschreibt. wenn ich die mit dem nullvektor verknüfe ist doch klar das der nullvektor rauskommt. verstehe deswegen die argumentation nicht. Was ist denn das schlagende argument warum der nullvektor ausgeschlossen wird? |
||||
| 02.05.2010, 19:18 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du willst mit dem Begriff "Eigenvektor" doch irgendetwas Spezielles charakterisieren. Du kannst auch der Definitionsmenge zehn Namen geben, aber es wäre ja sinnlos, wenn es inhaltlich nichts Neues ist. Nun ist es aber so, dass jede lineare Abbildung die Null auf die Null abbildet. Ergo wäre die Null immer ein Eigenvektor. Das macht dann nicht wirklich Sinn. Das Problem ist doch: Du definierst den Begriff "Eigenwert". Wenn du aber 0 als Eigenvektor zulässt, dann ist die Menge der Eigenwerte immer gleich dem Körper, über dem du den Vektorraum gebildet hast. Die Aufgabe "Bestimme die Eigenwerte von ..." wäre z.B. sinnlos, denn jeder Skalar wäre Eigenwert (zum EV Null). Auch praktische Anwendungen wären hinfällig. Matrizen sind zB genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist. Lässt du die Null als Eigenvektor zu, so wäre 0 aber immer ein Eigenwert und damit würdest du den sehr nützlichen Satz "Matrix invertierbar <=> 0 kein EW" verlieren. Da finden sich sicherlich noch eine Menge anderer Beispiele. air |
||||
| 02.05.2010, 21:55 | Klausi1111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, vektoren, deren Richtung sich nicht durch die Abbildung ändern, sondern nur um den Eigenwert strecken. _______ Naja, ich hab jetzt für mich gespeichert, dass der Nullvektor keine bestimmte Richtung hat und deswegen ausgeschlossen wird. das dann manche sachen "sinnlos" sind ist klar, allerdings hat mir ja gerade dafür ne begründung gefehlt. _______ |
||||
| 02.05.2010, 22:00 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht ganz, ob du nun eigentlich zufrieden bist oder nicht. 
Der Fall "Null kann Eigenvektor sein" produziert eben dummerweise eine ganze Reihe von Ausnahmen. Wieso sollte man sich auf so einen Quark einlassen, wenn man es gleich von Anfang an ausschließen kann?
Bei Primzahlen ist es ein Stück weit ähnlich: Die 2 ist eine Primzahl - und weil man das zulässt steht in sehr vielen Sätzen "Sei p eine ungerade Primzahl" oder "Sei p eine Primzahl größer als 2" ... denn man muss diese störende 2 eben oft auslassen, um die Gültigkeit des Satzes zu bewahren. Der Unterschied hier ist dann aber: Oft stört die 2 als Primzahl nicht nur, sondern manchmal wird sie vielleicht sogar explizit benötigt. Darum z.B. macht es nicht viel Sinn, die 2 als Nicht-Primzahl zu definieren. Bei Eigenvektoren dagegen ist es anders. 0 als Eigenvektor bereitet nur enorm viele Probleme (eben gerade weil dann jede Abbildung unendlich viele Eigenwerte hat und weil jede Abbildung stets einen Eigenvektor besitzt), wird aber nirgendwo wirklich benötigt. air |
||||
| 02.05.2010, 22:10 | Klausi1111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, vielleicht die frage mal anders formuliert: für eigenvektoren gilt ja: das ist ja genau die herleitung für das char. Pol. An der Stelle: greif ich ja auf die Def. zurück, dass v unglich Null ist. und das deswg. nicht invert´bar ist. Also genau das char. pol. Ich muss ja auch ohne die Def. an der stelle schließen können, das v ungleich Null sein muss. wie sieht denn dafür ne begründung aus? |
||||
| 02.05.2010, 22:22 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir sind also bei Das ist ja ein Lineares Gleichungssystem - und zwar ein homogenes. Jedes homogene LGS hat die Triviallösung v=0. Wenn wir diese ausschließen, dann können wir folgern, dass es nur lösbar ist, wenn ist. Würden wir v=0 zulassen, so wäre dieses LGS immer lösbar, nämlich mindestens trivial. Das heißt ja gerade: Jede Matrix besitzt immer(!) einen Eigenvektor, nämlich eben die Null. Wenn wir v=0 zulassen wollen, dann muss man an der Stelle eben sagen: Nun kann entweder v=0 sein, womit das LGS trivial gelöst wird, oder im anderen Fall ist v ungleich Null; daraus folgt, die Determinante [ab hier gehts wie gewohnt weiter] Mit v=0 "weiterzuarbeiten" wäre ja zwecklos, denn für v=0 kennst du bereits alle Lösungen. Du kannst v=0 also zulassen, in der Herleitung aber setzst du dann sowieso wieder v ungleich Null voraus. Der Unterschied ist am Ende eben: Du suchst wie gewohnt nach Eigenvektoren PLUS du weißst, dass 0 immer ein Eigenvektor ist. Wieso sollte man die 0 also als Eigenvektor zulassen, wenn 1) man sowieso weiß, dass die Gleichung für v=0 immer für jedes Lambda erfüllt ist (~> kein Informationsgewinn!) 2) dadurch bekannte Sätze ihre Gültigkeit verlieren? air |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
